Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
és | és | ||
:<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> | :<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> | ||
+ | '''2.''' Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet! | ||
+ | :<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,</math> | ||
+ | ''Mo.'' I. A homogén egyenletet szeparálással: | ||
+ | :<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=0\,</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{sh}(x)y'=\mathrm{ch}(x)y\,</math> | ||
+ | :<math>\frac{1}{y}y'=\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{ln}|y|= \int\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{ln}|y|= \mathrm{ln}|\mathrm{sh}(x)|+C</math> | ||
+ | :<math>y= c\,\mathrm{sh}(x)</math> |
A lap 2009. december 3., 20:07-kori változata
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
- ln | y | = ln | sh(x) | + C