Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
||
42. sor: | 42. sor: | ||
''Mo.'' I. A homogén egyenletet szeparálással: | ''Mo.'' I. A homogén egyenletet szeparálással: | ||
:<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=0\,</math> | :<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=0\,</math> | ||
− | :<math>\mathrm{sh}(x)y'=\mathrm{ch}(x)y\,</math> | + | :<math>\mathrm{sh}(x)y'=-\mathrm{ch}(x)y\,</math> |
− | :<math>\frac{1}{y}y'=\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,</math> | + | :<math>\frac{1}{y}y'=-\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,</math> |
− | :<math>\mathrm{ln}|y|= \int\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,\mathrm{d}x</math> | + | :<math>\mathrm{ln}|y|=- \int\frac{\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}(x)}\,\mathrm{d}x</math> |
− | :<math>\mathrm{ln}|y|= \mathrm{ln}|\mathrm{sh}(x)|+C</math> | + | :<math>\mathrm{ln}|y|= -\mathrm{ln}|\mathrm{sh}(x)|+C\,</math> |
− | :<math>y= c\,\mathrm{sh}(x)</math> | + | :<math>y= \frac{c}{\mathrm{sh}(x)}</math> |
+ | II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást | ||
+ | :<math>y= \frac{c(x)}{\mathrm{sh}(x)}</math> | ||
+ | alakban keressük. | ||
+ | :<math>y'(x)=\frac{c'(x)\,\mathrm{sh}(x)-c(x)\,\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}\,</math> | ||
+ | az egyenlet ekkor ilyen alakú: | ||
+ | :<math>c'(x)\,\mathrm{sh}(x)-c(x)\,\mathrm{ch}(x)+\mathrm{ch}(x)c(x)=\mathrm{sh}(x)\,</math> | ||
+ | :<math>c'(x)=1\,</math> | ||
+ | :<math>c(x)=x\,</math> | ||
+ | Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása: | ||
+ | :<math>y(x)= \frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)},\quad\quad c\in\mathbf{R}</math> | ||
+ | Valóban, | ||
+ | :<math>\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,</math> | ||
+ | '''3.''' |
A lap 2009. december 3., 20:38-kori változata
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást
alakban keressük.
az egyenlet ekkor ilyen alakú:
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Valóban,
3.