Matematika A3a 2009/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Feladatok) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
## egyenletredszert Laplace-szal | ## egyenletredszert Laplace-szal | ||
==Feladatok== | ==Feladatok== | ||
+ | ===Egzaktra visszavezethető=== | ||
'''1.''' Oldjuk meg az | '''1.''' Oldjuk meg az | ||
:<math>(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,</math> | :<math>(x^2+y^2+x)+y'xy=0\,</math> | ||
38. sor: | 39. sor: | ||
és | és | ||
:<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> | :<math>y(x)=\frac{\sqrt{13-3x^4-4x^3}}{\sqrt{6}x}\,</math> | ||
+ | ===Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet=== | ||
'''2.''' Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet! | '''2.''' Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet! | ||
:<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,</math> | :<math>\mathrm{sh}(x)y'+\mathrm{ch}(x)y=1\,</math> | ||
59. sor: | 61. sor: | ||
Valóban, | Valóban, | ||
:<math>\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,</math> | :<math>\mathrm{sh}(x)\frac{\mathrm{sh}(x)-(c+x)\mathrm{ch}(x)}{\mathrm{sh}^2(x)}+\frac{c+x}{\mathrm{sh}(x)}\mathrm{ch}(x)=1\,</math> | ||
+ | ===Állandó együtthatójú másodrendű próbafüggvénymódszerrel=== | ||
'''3.''' | '''3.''' |
A lap 2009. december 3., 20:42-kori változata
Tartalomjegyzék |
Típusok és módszerek
- Elsőrendű közönséges nemlineáris --> szeparábilis (ill. homogén fokszámú) vagy egzaktá tehető
- Elsőrendű lineáris --> hom. ált. + inh. part.
- Elsőrendű lineáris homogén --> szeparábilis
- Elsőrendű lineáris inhomogén --> állandók variálása
- Másodrendű hiányos --> 3 eset (g(x) hiányzik, y hiányzik, y' hiányzik)
- Másodrendű állandóegyütthatójú lineáris
- --> próbafüggvény
- --> Laplace
- egyenletredszert Laplace-szal
Feladatok
Egzaktra visszavezethető
1. Oldjuk meg az
egyenletet az y(1) = 1 kezdeti feltétel mellett!
Mo. Nem egzakt, nem homogén fokszámú.
Keressünk integráló szorzót!
- csak x-től függő.
Ekkor
Valóban, ha
akkor
Keressünk potenciálfüggvényt! Az alábbi parciális differenciálegyenletet kell megoldanunk.
Mindkét egyenletet integráljuk aszerint a változó szerint, ami szerint a deriválás történik:
Összehasonlítva:
Valóban, ennek e megfelel. Az első integrál:
Speciálisan ebből kifejezhető az (1,1)-en áthaladó megoldás:
és
Elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet
2. Oldjuk meg az alábbi elsőrendű függvényegyütthatós inhomogén differenciálegyenletet!
Mo. I. A homogén egyenletet szeparálással:
II. Partikuláris megoldást keresünk az inhomogén egyenlet részére. A megoldást
alakban keressük.
az egyenlet ekkor ilyen alakú:
Tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása:
Valóban,
Állandó együtthatójú másodrendű próbafüggvénymódszerrel
3.