A3 2009 vizsga 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
'''1. b)''' Határozzuk meg a | '''1. b)''' Határozzuk meg a | ||
:<math>\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,</math>, <math>t\in[0,2]</math> | :<math>\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,</math>, <math>t\in[0,2]</math> | ||
− | györbeszakasz ívhosszát! | + | györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység? |
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
16. sor: | 16. sor: | ||
:<math>s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,</math> | :<math>s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,</math> | ||
:<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=</math> | :<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=</math> | ||
− | :<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}e^{2\pi}</math> | + | :<math>=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1)</math> |
+ | |||
+ | A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy ''u''. Ekkor | ||
+ | :<math>s(t)=\int\limits_{\tau=0}^{t}|\dot{\mathbf{r}}(\tau)|\,\mathrm{d}\tau=\int\limits_{\tau=0}^{t}e^{\tau}\sqrt{3}\,\mathrm{d}\,\tau=\sqrt{3}(e^{t}-1)</math> | ||
+ | Innen t: | ||
+ | :<math>\sqrt{3}(e^{t}-1)=1\,</math> | ||
+ | :<math>e^t=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\,</math> | ||
+ | :<math>t=\mathrm{ln}\,(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\,</math> | ||
+ | |||
'''1. c)''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal? | '''1. c)''' Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal? | ||
24. sor: | 32. sor: | ||
:<math>xy=\lambda \,</math> | :<math>xy=\lambda \,</math> | ||
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). | Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
A lap 2010. január 9., 19:36-kori változata
Differenciálgeometria
1. a) Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:
Az érintő egyenes vektoregyenlete
1. b) Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?
Mo.
A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy u. Ekkor
Innen t:
1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?
Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).