A3 2009 vizsga 1

Differenciálgeometria

1. a) Határozza meg az

$\mathbf{r}(t)=t^2\mathbf{i}+\frac{1+t}{t}\mathbf{j}+\frac{t}{t+1}\mathbf{k}\,$

görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!

Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}(t^2)^\dot{}\\ (\frac{1+t}{t})^\dot{}\\ (\frac{t}{t+1})^\dot{}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2t\\ -\frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{(t+1)^2}\end{bmatrix}$

Az érintő egyenes vektoregyenlete

$\mathbf{s}(u)=\mathbf{r}(1)+\dot{\mathbf{r}}(1)u=\begin{bmatrix}1\\2\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\-\frac{1}{4}\end{bmatrix}u=\begin{bmatrix}1+2u\\2-u\\-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}u\end{bmatrix}$

1. b) Határozzuk meg a

$\mathbf{r}(t)=e^t\cos t \mathbf{i}+e^t\sin t \mathbf{j}+e^t\mathbf{k}\,$, $t\in[0,2]$

györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?

Mo.

$\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{bmatrix}e^t\cos t-e^t\sin t \\e^t\sin t+e^t\cos t\\ e^t\end{bmatrix}$

$s=\int\limits_{t=0}^{2\pi}|\dot{\mathbf{r}}(t)|\,\mathrm{d}t=\,$

$=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^t\sqrt{1-2\sin t \cos t+1+2\sin t \cos t+1}\,\mathrm{d}t=$

$=\int\limits_{t=0}^{2\pi}e^{t}\sqrt{3}\,\mathrm{d}t=\sqrt{3}(e^{2\pi}-1)$

A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy u. Ekkor

$s(t)=\int\limits_{\tau=0}^{t}|\dot{\mathbf{r}}(\tau)|\,\mathrm{d}\tau=\int\limits_{\tau=0}^{t}e^{\tau}\sqrt{3}\,\mathrm{d}\,\tau=\sqrt{3}(e^{t}-1)$

Innen t:

$\sqrt{3}(e^{t}-1)=1\,$

$e^t=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\,$

$t=\mathrm{ln}\,(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\,$

1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?

Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz

$yz=\lambda \,$

$xz=\lambda \,$

$xy=\lambda \,$

Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).

Integrálátalakító tételek

2. a) Számítsa ki a v(x,y,z)=(3xcos²z,3xe^z+3ysin²z,z) vektormező intregálját a hengerkoordinátákban megadott r(φ,r)=(r cos φ,r sin φ,1-r²), r∈[0,1], φ∈[0,2π] felületen!

Mo. A Gauss-tételt használjuk. A felület egy forgási paraboloid, melyet az [xy] síkkal lezárhatunk. Az [xy] sík mentén a vektortérnek csak [xy] irányú komponense van, tehát ennek a járuléka az integrálhoz 0. A divergencia:

$\mathrm{div}\,\mathbf{v}=4$

A bezárt térrész paraméterezése:

$\{(r,\varphi, h)\mid 0\leq r\leq 1,0\leq \varphi\leq 2\pi, 0\leq h\leq 1-r^2\}$

A Jacobi-determináns hengrekoordinátázás esetén det J = r, így

$\int\limits_{r=0}^{1}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{h=0}^{1-r^2} 4r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\,\varphi\,\mathrm{d}\,h=$

$=\int\limits_{r=0}^{1}8\pi r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\int\limits_{r=0}^{1}-2 r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\frac{(1-r^2)^2}{2}|_0^1=+2\pi$

2. b) Integráljuk a

$v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,$

vektormezőt az

$r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi$

görbe mentén!

Mo. A vektormező rotációmentes:

$\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0$

Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és

$\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,$

Ezért legyen

$\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r$

$v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,$

Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:

$s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)$

Ezzel

$\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0 t\;\mathrm{d}t=$

$=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0t\;\mathrm{d}t=$

$=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0x_0=x_0^2y_0+y_0z_0-x_0z_0$

Ellenőrizzük!

$\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2xy+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^2+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial z}=y-x$

Ezzel a görbére a vonalintegrál:

Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12

Komplex függvénytan

3. a) Számítsuk ki az

$f(z)=(1+z)^2(e^{\frac{1}{1+z}}-1)\,$ (illetve $g(z)=\sin\frac{1}{-z^3}$)

-1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját és ott a szakadás jellegét!

Mo.

$e^{\frac{1}{1+z}}=1+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...\,$

ezért

$f(z)=(1+z)^2(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...)=$

Ez a Laurent-sor. Tehát

$\mathrm{Res}_{z_0=-1}f=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}$

Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül:

$\int\limits_{|z+1|=1}f(z)\,\mathrm{d}z=2\pi\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}$

a szakadás lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban.

$g(z)=-\frac{1}{z^3}+\frac{1}{3!z^9}-...\,$

Ez a Laurent-sor. Res g = 0, integrálja 0. A szakadás lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban.