Matematika közlek a3 2010 2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvénysorozatok) |
||
30. sor: | 30. sor: | ||
Az azonos A ⊆ '''C''' halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények <math>f_n:A\to \mathbf{C}</math> sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az <math>(f_n(x))</math> sorozat konvergens. | Az azonos A ⊆ '''C''' halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények <math>f_n:A\to \mathbf{C}</math> sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az <math>(f_n(x))</math> sorozat konvergens. | ||
− | ''' | + | '''2.''' Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája |
# <math>f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}</math> | # <math>f_n(z)=\frac{zn^2+6n}{3n^2+zn}</math> | ||
36. sor: | 36. sor: | ||
# <math>f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^{2n}}</math> | # <math>f_n(x)=\frac{x^n}{1+x^{2n}}</math> | ||
# <math>f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}</math> | # <math>f_n(x)=n\sin\frac{x}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Hatványsorok== | ||
+ | |||
+ | :<math>\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n</math> | ||
+ | |||
+ | Hatványsor konvergenciahalmaza valós sor esetén intervallum, komplex esetén körlap. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Határozzuk meg a sorok konvergenciakörét és a határpontokban a sor konvergenciáját. | ||
+ | |||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n^3 2^n }</math> | ||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n! x^n}{n^4 }</math> | ||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^nx^n</math> | ||
+ | # <math>\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-2)^n}{3}</math> |
A lap 2010. szeptember 15., 09:51-kori változata
Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium
Majoráns-kritérium -- Legyen (an) és (bn) olyan, hogy egy indextől kezdődően és ∑(bn) konvergens. Ekkor ∑(an) is konvergens (és ∑(bn) a majoráns sora).
Hányados-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a
- ha , akkor ∑(an) konvergens és
- ha , akkor ∑(an) divergens.
Gyök-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a
- ha , akkor ∑(an) konvergens és
- ha , akkor ∑(an) divergens.
Leibniz-kritérium -- Ha | an | monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor konvergens.
1.
Mo.
Függvénysorozatok
Az azonos A ⊆ C halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az (fn(x)) sorozat konvergens.
2. Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája
Hatványsorok
Hatványsor konvergenciahalmaza valós sor esetén intervallum, komplex esetén körlap.
3. Határozzuk meg a sorok konvergenciakörét és a határpontokban a sor konvergenciáját.