Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 3.
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén lineáris d. egyenletrendszer) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Homogén lineáris d. egyenletrendszer) |
||
51. sor: | 51. sor: | ||
y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t</math> | ||
===Homogén lineáris d. egyenletrendszer=== | ===Homogén lineáris d. egyenletrendszer=== | ||
+ | a) | ||
:<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> | :<math>\dot{x_1}=2x_1+3x_2</math> | ||
:<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math> | :<math>\dot{x_2}= x_1+4x_2</math> | ||
+ | b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel | ||
− | ''Mo.'' Ha a feladat | + | ''Mo.'' a) Ha a feladat |
:<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}</math> | :<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}</math> | ||
− | alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix: | + | alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix: |
− | :<math>B=(s_1,s_2)\,</math>, | + | :<math>B=\left([s_1],[s_2]\right)\,</math>, |
akkor a megoldás | akkor a megoldás | ||
:<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}</math> | :<math>\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}</math> | ||
68. sor: | 70. sor: | ||
:<math>\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}</math> | :<math>\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}</math> | ||
− | mátrix magja, ez: | + | mátrix magja, ez:(-3t,t) |
+ | és a | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}-3&3\\1&-1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | magja, ez: (t,t) | ||
+ | Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}-3c_1e^t+c_1e^{5t}\\c_2e{t}+c_2e^{5t}\end{pmatrix}</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>sX_1-1=2X_1+3X_2</math> | ||
+ | :<math>sX_2+1= X_1+4X_2</math | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>X_1(s-2)=3X_2+1</math> | ||
+ | :<math>X_2(s-4)+1=X_1</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>3X_2+1=(X_2(s-4)+1)(s-2)</math> | ||
+ | :<math>X_2(3-(s-4)(s-2))=s-3</math> | ||
+ | :<math>X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)(-s^2+6s-5}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}=\frac{...}{s-5}+\frac{...}{s-1}</math> |
A lap 2013. október 13., 22:21-kori változata
Tartalomjegyzék |
Lineáris differenciálegyenletek
Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.
Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.
- ln | y | = ln | x | − 2 + C
Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:
ami a homogén általános megoldása.
Inhomogén part. keresése
- K'(x) = x2sin(x3 + 1)
Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat
Mo.
- L(y') = sY − y(0)
- L(y'') = s2Y − sy(0) − y'(0)
A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9
s=1-re D=16/(-8)=-2
s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81
s=2-re A=50/81
Visszatranszf.
Homogén lineáris d. egyenletrendszer
a)
b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel
Mo. a) Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:
- ,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
Megkeresendő tehát a
mátrix magja, ez:(-3t,t) és a
magja, ez: (t,t) Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:
b)
- sX1 − 1 = 2X1 + 3X2
- sX2 + 1 = X1 + 4X2 < / mathazaz: < math > X1(s − 2) = 3X2 + 1
- X2(s − 4) + 1 = X1
azaz
- 3X2 + 1 = (X2(s − 4) + 1)(s − 2)
- X2(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3