Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 3.

Lineáris differenciálegyenletek

Függvényegyütthatós elsőrendű lineáris d.e.

$y'+\frac{2y}{x}=\sin(x^3+1)$

Mo. Homogén megoldása. y=0 konstans megoldás.

$y'=-\frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}$

ln | y | = ln | x | ^{− 2} + C

Bolzano tétele miatt tetszőleges K valós számmal:

$y=K\frac{1}{x^2}$

ami a homogén általános megoldása.

Inhomogén part. keresése

$y(x)=K(x)\frac{1}{x^2}$

$K'(x)\frac{1}{x^2}+K(x)\frac{-2}{x^3}+K(x)\frac{2}{x^3}=\sin(x^3+1)$

K'(x) = x²sin(x³ + 1)

$K'(x)=\frac{1}{3}3x^2\sin(x^3+1)$

$K(x)=-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)$

$y=K\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}\cos(x^3+1)\frac{1}{x^2}$

Másodrendű lineáris kezdetiérték feladat

$y''-10y'+9y=5t,\quad\quad y(0)=-1,\;y'(0)=2$

Mo.

L(y') = sY − y(0)

L(y'') = s²Y − sy(0) − y'(0)

$L(5t)=\frac{5}{s^2}$

$s^2Y-sy(0)-y'(0)-10sY+10y(0)+9Y=\frac{5}{s^2}$

$s^2Y+s-2-10sY-10+9Y=\frac{5}{s^2}$

$Y(s^2-10s+9)+s-12=\frac{5}{s^2}$

$Y=\frac{\frac{5}{s^2}-s+12}{s^2-10s+9}$

$Y=\frac{5}{s^2(s-9)(s-1)}-\frac{s-12}{(s-9)(s-1)}$

$Y=\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}$

$\frac{-s^3+12 s^2+5}{s^2(s-9)(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-9}+\frac{D}{s-1}=\frac{As(s-9)(s-1)+B(s-9)(s-1)+Cs^2(s-1)+Ds^2(s-9)}{s^2(s-9)(s-1)}$

A gyököket beírva: s=0-ra B=5/9

s=1-re D=16/(-8)=-2

s=9-re C.8.81=-243+12.27+5 C=31/81

s=2-re A=50/81

Visszatranszf.

$y(t)=\frac{50}{81}+\frac{5}{9}t+\frac{31}{81}e^{9t}-2e^t$

Homogén lineáris d. egyenletrendszer

a)

$\dot{x_1}=2x_1+3x_2$

$\dot{x_2}= x_1+4x_2$

b) Ez az (1,-1) kezdetiértékkel

Mo. a) Ha a feladat

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$

alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ₁, λ₂-hoz tartozó sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból álló mátrix:

$B=\left([s_1],[s_2]\right)\,$,

akkor a megoldás

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}$

Itt a sajátértékefeladat megoldása:

$(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,$

azaz

$\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,$

$\lambda_{1,2}=1;5\,$

Megkeresendő tehát a

$\begin{pmatrix}1&3\\1&3\end{pmatrix}$

mátrix magja, ez:(-3t,t) és a

$\begin{pmatrix}-3&3\\1&-1\end{pmatrix}$

magja, ez: (t,t) Azaz a sajátvektorok: (-3,1), (1,1), a megoldás:

$\begin{pmatrix}-3c_1e^t+c_1e^{5t}\\c_2e{t}+c_2e^{5t}\end{pmatrix}$

b)

sX₁ − 1 = 2X₁ + 3X₂

sX₂ + 1 = X₁ + 4X₂

azaz

X₁(s − 2) = 3X₂ + 1

X₂(s − 4) + 1 = X₁

azaz

3X₂ + 1 = (X₂(s − 4) + 1)(s − 2)

X₂(3 − (s − 4)(s − 2)) = s − 3

$X_2=\frac{s-3}{3-(s-4)(s-2)(-s^2+6s-5}=\frac{-s+3}{(s-5)(s-1)}=\frac{...}{s-5}+\frac{...}{s-1}$

Inhomogén lineáris d. egyenletrendszer

$\dot{x_1}=1x_1+2x_2+2t$

$\dot{x_2}=3x_1+2x_2-4t$

Mo. A homogén után Ψc'=(2t,-4t) megoldása