Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris differenciálegyenletek) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | ==Egzakt differenciálegyenlet== | ||
+ | ===Definíció=== | ||
+ | Legyen U ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmaz és ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az | ||
+ | :<math>y'=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\quad\quad \mathrm{(EX)}</math> | ||
+ | differenciálegyenlet ''egzakt'', ha létezik olyan ''F'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény, hogy | ||
+ | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}=P,\quad\quad\frac{\partial F}{\partial y}=Q\quad\quad\mathrm{(C)}</math> | ||
+ | '''Elméleti példa.''' Minden | ||
+ | :<math>y'=\frac{f(x)}{g(y)}\quad\quad (f\in\mathrm{C}(I),\;g\in \mathrm{C}(J),\;0\notin\mathrm{Ran}(g))</math> | ||
+ | alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha ''g'' integrálfüggvénye ''G'', akkor | ||
+ | :<math>g(y)y'=f(x)\quad\quad\Rightarrow\quad\quad G(y)=F(x)+C</math> | ||
+ | Alkalmas tehát az alábbi függvény: | ||
+ | :<math>\Phi(x,y):=G(y)-F(x)=C\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=f,\quad\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=g</math> | ||
+ | |||
+ | Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig: | ||
+ | :<math>y(x)=G^{-1}(F(x)+C)\,</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' A megoldásokat implicit módon adja meg az | ||
+ | :<math>\Phi(x,y)=C\,</math> | ||
+ | egyenlet. Mivel | ||
+ | :<math>\frac{\partial\Phi}{\partial y}\ne 0</math> | ||
+ | ezért az implicitfüggvény-tétel miatt y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt: | ||
+ | |||
+ | '''Implicitfüggvény-tétel''' -- Ha a Φ: <math>I</math>×<math>J</math> <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvény az <math>(x_0,y_0)</math> ∈ int(<math>I</math>×<math>J</math>) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a <math>(x_0,y_0)</math> pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek az <math>(x_0,y_0)</math> ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az <math>x_0</math> egy ''K''⊆''I'' környezetében értelmezett, ''J''-beli értékű ''y'' deriválható függvény, melyre minden ''x'' ∈ ''K'' esetén: | ||
+ | :<math>\Phi(x,y(x))=\Phi(x_0,y_0)\,</math>, <math>y(x_0)=y_0\,</math> | ||
+ | és ennek deriváltja minden ''x'' ∈ ''K''-ban: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\left.\frac{\;\frac{\partial\Phi}{\partial x}\;}{\frac{\partial \Phi}{\partial{y}}}\right|_{(x,y(x))}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele=== | ||
+ | '''Tétel.''' Legyenek ''P'' és ''Q'' az ''U'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup> nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, ''Q'' sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F: ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvénnyel és <math>(x_0,y_0)</math> ∈ ''U''. Ekkor | ||
+ | |||
+ | 1) az | ||
+ | :(ex) y'=-P/Q | ||
+ | egyenletnek egyértelműen létezik az <math>y_0=y(x_0)</math> kezdeti feltételt kielégítő ''y'' lokális megoldása és | ||
+ | |||
+ | 2) az | ||
+ | :(impl) F(x,y) = F(<math>x_0,y_0</math>) | ||
+ | egyenlet <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó egyetlen lokális implicit függvénye az (ex) egyenlet <math>y(x_0)=y_0</math> kezdeti feltételt kielégítő egyetlen lokális megoldása. | ||
+ | |||
+ | ''Biz.'' 1) ''Egzisztencia.'' Belátjuk, hogy (impl) egyetlen <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó implicit függvénye megoldása az (ex) | ||
+ | egyenletnek. | ||
+ | :<math>\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}=Q(x_0,y_0)\ne 0</math> | ||
+ | így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja az értelmezési tartományának minden pontjában: | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{\;\cfrac{\partial F}{\partial x}(x,y(x))\;}{\cfrac{\partial F}{\partial y}(x,y(x))}=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | tehát ''y'' az (ex) differenciálegyenletnek is megoldása, és ez kielégíti a kezdeti feltételt. | ||
+ | |||
+ | ''Unicitás.'' Tegyük fel, hogy létezik megoldása a kezdeti érték feladatnak. Legyen egy tetszőleges megoldása ''y'', azaz | ||
+ | :<math>y'(x)=-\frac{P(x,y(x))}{Q(x,y(x))}</math> | ||
+ | Ez az egyenlet a grad F = (P,Q) miatt előáll | ||
+ | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'=0</math> | ||
+ | alakban. Most belátjuk, hogy ''y'' (impl)-nek implicit megoldása. Az összetett függvény differenciálási szabálya miatt ( d(F<math>\circ</math>G)(x,y)=dF(G(x,y))<math>\circ</math> dG(x,y) ) az előző egyenlet a következő formában is írható: | ||
+ | :<math>(F(x,y(x)))'=[\mathrm{grad}\,F|_{(x,y(x))}]\cdot\begin{bmatrix}x'\\y'(x)\end{bmatrix}=\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x,y(x))}+y'\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x,y(x))}\equiv 0\,</math> | ||
+ | ''x'' értékei egy intervallumból kerülnek ki, ezért az ''integrálszámítás alaptétele'' szerint az x <math>\mapsto</math> F(x,y(x)) egy konstans függvény. De a feltétel szerint <math>y(x_0)=y_0</math> teljesül, ezért x <math>\mapsto</math> y(x) egy <math>(x_0,y_0)</math>-on áthaladó implicit függvénye az F(x,y)=F(<math>x_0,y_0</math>) egyenletnek. Ez az utóbbi azonban egyértelműen van meghatározva, ezért a kezdeti érték feladat minden megoldása egybeesik ezzel az implicit függvénnyel, azaz a megoldás egyértelmű. | ||
+ | |||
+ | 2) Az implicitfüggvény tételében adott egyetlen implicit függvény az 1) egzisztencia része miatt megoldása (ex)-nek és 1) unicitás része miatt ez az egyetlen megoldása (ex)-nek. | ||
+ | |||
+ | ===Az egzaktság jellemzése=== | ||
+ | '''Megjegyzés.''' Az egzakt differenciálegyenletet még | ||
+ | :<math>P(x,y)+Q(x,y)y'=0\,</math> ill. <math>P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=0\,</math> | ||
+ | alakban is szokás írni. | ||
+ | |||
+ | Ez utóbbi egyenletről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a ''P''(''x'',''y'')d''x'' + ''Q''(''x'',''y'')d''y'' kifejezés "teljes differenciál", amin azt értik, hogy létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}F(x,y)=P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ezt a mai jelölésekkel a következőképpen írjuk. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa: | ||
+ | :<math>[\mathrm{d}F(x,y)]=\mathrm{grad}\,F(x,y)=\left[\;\frac{\partial F}{\partial x}\;,\;\frac{\partial F}{\partial y}\;\right]</math> | ||
+ | Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható: | ||
+ | :<math>[\mathrm{d}F]=\left[P,Q\right]\,</math> ill. <math>\mathrm{grad}\,F=[P,Q]\,</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) vektormező (vektorértékű függvény) '''potenciálos'''. Innen hasznos jellemzést kapunk az egzaktságra a vektoranalízisbeli ismereteinkből. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Legyen ''U'' egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, ''P'',''Q'': ''U'' <math>\to</math> '''R''' folytonosan differenciálható függvények (Q sehol sem nulla). A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha | ||
+ | :<math>\frac{\partial P}{\partial y}\equiv\frac{\partial Q}{\partial x}</math> | ||
+ | |||
+ | Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet integráljának nevezzük. | ||
+ | |||
+ | Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' 1) A feltétel nem más, mint az, hogy a (P,Q) síkbeli vektormező rotációja azonosan nulla. Ugyanis a rotáció a síkbeli (P,Q) vektormező esetén: | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\,(P,Q)=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}</math> | ||
+ | 2) Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis egyenlet megoldhatóságának feltétele. | ||
+ | |||
==Lineáris differenciálegyenletek== | ==Lineáris differenciálegyenletek== | ||
===Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai=== | ===Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai=== |
A lap 2013. december 14., 20:40-kori változata
Tartalomjegyzék |
Egzakt differenciálegyenlet
Definíció
Legyen U ⊆ R2 nyílt halmaz és P,Q: U R folytonos függvények, Q sehol sem nulla. Azt mondjuk, hogy az
differenciálegyenlet egzakt, ha létezik olyan F: U R folytonosan differenciálható függvény, hogy
Elméleti példa. Minden
alakú szeparábilis differenciálegyenlet egzakt, hiszen ha g integrálfüggvénye G, akkor
Alkalmas tehát az alábbi függvény:
Jelen esetben a G függvény deriváltja (G'=g) sehol sem nulla folytonos függvény, ezért szigorúan monoton. Emiatt kifejezhető y éspedig:
Megjegyzés. A megoldásokat implicit módon adja meg az
egyenlet. Mivel
ezért az implicitfüggvény-tétel miatt y-t "ki lehet fejezni". Érdemes felelevenítenünk magát az implicitfüggvény-tételt:
Implicitfüggvény-tétel -- Ha a Φ: I×J R folytonosan differenciálható függvény az (x0,y0) ∈ int(I×J) pontban teljesíti a ∂Φ/∂y ≠ 0 feltételt, akkor a (x0,y0) pont egy környezetében egyértelműen létezik az Φ(x,y)=Φ(x0,y0) egyenletnek az (x0,y0) ponton áthaladó implicit függvénye, azaz az x0 egy K⊆I környezetében értelmezett, J-beli értékű y deriválható függvény, melyre minden x ∈ K esetén:
- ,
és ennek deriváltja minden x ∈ K-ban:
Egzakt egyenlet egzisztencia- és unicitástétele
Tétel. Legyenek P és Q az U ⊆ R2 nyílt halmazon értelmezett folytonos valós függvények, Q sehol se nulla, grad F = (P,Q) valamely F: U R folytonosan differenciálható függvénnyel és (x0,y0) ∈ U. Ekkor
1) az
- (ex) y'=-P/Q
egyenletnek egyértelműen létezik az y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő y lokális megoldása és
2) az
- (impl) F(x,y) = F(x0,y0)
egyenlet (x0,y0)-on áthaladó egyetlen lokális implicit függvénye az (ex) egyenlet y(x0) = y0 kezdeti feltételt kielégítő egyetlen lokális megoldása.
Biz. 1) Egzisztencia. Belátjuk, hogy (impl) egyetlen (x0,y0)-on áthaladó implicit függvénye megoldása az (ex) egyenletnek.
így az implicitfüggvény-tétel szerint, egyértelműen létezik F-nek y=y(x) implicit függvénye az adott pont egy környezetében és ennek deriváltja az értelmezési tartományának minden pontjában:
tehát y az (ex) differenciálegyenletnek is megoldása, és ez kielégíti a kezdeti feltételt.
Unicitás. Tegyük fel, hogy létezik megoldása a kezdeti érték feladatnak. Legyen egy tetszőleges megoldása y, azaz
Ez az egyenlet a grad F = (P,Q) miatt előáll
alakban. Most belátjuk, hogy y (impl)-nek implicit megoldása. Az összetett függvény differenciálási szabálya miatt ( d(FG)(x,y)=dF(G(x,y)) dG(x,y) ) az előző egyenlet a következő formában is írható:
x értékei egy intervallumból kerülnek ki, ezért az integrálszámítás alaptétele szerint az x F(x,y(x)) egy konstans függvény. De a feltétel szerint y(x0) = y0 teljesül, ezért x y(x) egy (x0,y0)-on áthaladó implicit függvénye az F(x,y)=F(x0,y0) egyenletnek. Ez az utóbbi azonban egyértelműen van meghatározva, ezért a kezdeti érték feladat minden megoldása egybeesik ezzel az implicit függvénnyel, azaz a megoldás egyértelmű.
2) Az implicitfüggvény tételében adott egyetlen implicit függvény az 1) egzisztencia része miatt megoldása (ex)-nek és 1) unicitás része miatt ez az egyetlen megoldása (ex)-nek.
Az egzaktság jellemzése
Megjegyzés. Az egzakt differenciálegyenletet még
- ill.
alakban is szokás írni.
Ez utóbbi egyenletről azt is mondják, hogy akkor egzakt, ha a P(x,y)dx + Q(x,y)dy kifejezés "teljes differenciál", amin azt értik, hogy létezik olyan F(x,y) függvény, melynek teljes differenciálja:
Ezt a mai jelölésekkel a következőképpen írjuk. Egy F kétváltozós függvény teljes differenciálja egy lineáris leképezés, mely a sztenderd {(1,0),(0,1)} bázisban felírt koordinátáival nem más, mit a parciális deriváltjainak sormátrixa:
Emiatt a (C) feltétel a következő alakban is írható:
- ill.
Tehát az egzakt egyenletben a (P,Q) vektormező (vektorértékű függvény) potenciálos. Innen hasznos jellemzést kapunk az egzaktságra a vektoranalízisbeli ismereteinkből.
Tétel. Legyen U egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, P,Q: U R folytonosan differenciálható függvények (Q sehol sem nulla). A Pdx + Qdy = 0 egyenlet pontosan akkor egzakt, ha
Az F függvényt, az Pdx + Qdy = 0 egyenlet integráljának nevezzük.
Ezt a tételt jól ismerjük és a bizonyítását a vektoranalízisben vettük.
Megjegyzés. 1) A feltétel nem más, mint az, hogy a (P,Q) síkbeli vektormező rotációja azonosan nulla. Ugyanis a rotáció a síkbeli (P,Q) vektormező esetén:
2) Bár a szeparábilis egyenlet egzakt, a fenti feltétel az egzaktság ellenőrzésére sokkal szigorúbb mint a szeparábilis egyenlet megoldhatóságának feltétele.
Lineáris differenciálegyenletek
Inhomogén lineáris egyenlet megoldásai
Tétel. Ha V, W tetszőleges lineáris tér, A ∈ Lin(V,W) lineáris operátor, b ∈ W. Ha x0 ∈ V megoldása az Ax = b inhomogén egyenletnek, akkor az
összes megoldásainak halmaza:
Bizonyítás. 1) Ha x ∈ Ker(A), akkor Ax = 0. Ekkor
azaz ekkor x+x0 ∈ M.
2) Ha
- és
akkor
tehát x ∈ Ker(A). QED.
Megjegyzés. Tudjuk tehát akármilyen lineáris térben az inhomogén egyenlet összes megoldását, ha ismert egy megoldása. Ha tehát Ax=b lineáris differenciálegyenlet, akkor a tétel azt a szlogent fejezi ki, hogy inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása egyenlő a homogén egyenlet általános megoldása plusz az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása.
Elsőrendű inh. lin. diff. egyenlet és az állandó variálása
Állítás. Ha f: I R folytonos függvény akkor az
lineáris operátor a Lin(C1(I),C(I)) téren.
Bizonyítás.
Következmény. A fenti jelölésekkel, tetszőleges g folytonos függvényre, ha y0 a
differenciálegyenlet egy megoldása, akkor az egyenlet általános megoldása egyenlő a
homogén egyenlet általános megoldása plusz y0.
Példa. Oldjuk meg az
egyenletet! A partikuláris megoldást keressük az állandók variálása módszerével!
Másodrendű, áll. ehós hom. egyenlet
Tétel. Ha a,b ∈ R, akkor az
C2(I) C(I) lineáris operátor magja kétdimenziós.
Megoldás. A bizonyítás két részből fog állni. Először is Laplace-transzformációval belátjuk, hogy ha dim Ker(A) legalább kettő, akkor legfeljebb 2. Másodszor pedig mutatunk 2 lineárisan független megoldást.
Bizonyítás nélkül elfogadjuk azt a tényt, hogy ha ezen egyenlet esetén egy adott pontban kezdeti értéket adunk az y-nak és az y'-nek akkor a megoldás (ha van) egyértelmű. Szemléletes képpel, ez azt jelenti, hogy ha a kezdőfázist és a sebességet megadjuk, akkor azzal a teljes hullámformát megkapjuk.
I. Legyen y1 és y2 két lineárisan független megolása az
- A y = 0
egyenletnek és legyen y ∈ Ker(A) tetszőleges. Rögzítsünk egy x0 ∈ I helyet, melyen y(x0) = u és y'(x0) = v. Elő fogjuk állítani ezt a partikuláris megoldást a két előbbi megoldás lineáris kombinációjaként. Legyenek:
azt kívánjuk elérni, hogy az
- αu1 + βu2 = u
- αv1 + βv2 = v
egyenletrendszernek legyen egyértelmű megoldása (α,β)-ra. Ez pontosan akkor van, ha a
determináns (azaz az egyenletrendszer x0-beli Wronsky-determinánsa) nem nulla. Hiszen ekkor a megoldás egyértelműsége miatt (azaz, hogy u és v egyértelműen meghatározza y-t) azt kapjuk, hogy (α,β) "globális konstansok is", azaz αy1 + βy2 = y.
Az egyenlet Laplace-transzformáltja:
- (s2 + as + b)(v2Y1 − v1Y2) + (s + a)(u2v1 − u1v2) = 0
Ennek az egyenletnek minden s-re fenn kell állnia, ezért ha u2v1 − u1v2 = 0 lenne, akkor v2Y1 − v1Y2 = 0 is lenne (minden s-re), azaz Y2 és Y1 lineárisan kifejezhetők lennének egymással, ami ellentmondana a rájuk tett kezdeti feltevésnek.
II. A megoldéskeresési feladatot kicsit bővebb körben, a valós változós, komplex értékű kétszer folytonosan R-differenciálható függvények körében oldjuk meg. Tehát ekkor A a C2(I,C) térből a C(I,C) térbe hat. Ezek között fogunk valós megoldás keresni. A differenciáloperátornak sajátfüggvénye az exponenciális függvény, így tetszőleges λ ∈ C
próbafüggvény behelyettesítésével kapjuk:
Tehát a megoldások:
1. ha λ1 ≠ λ2 valósak, akkor
bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t:
2. ha λ1 = λ2 valósak, akkor keresnünk kell mégegy az eλx-től lineárisan független megoldást.
Világos, hogy ez az, hiszen a egyenletet eλx-vel leosztva, a polinom balodalú adódna, ami csak akkor lehet a nullapolinom, ha az ehók mind nullák.
3. ha λ = α β nemvalós, akkor
azaz
megoldások, melyek azonban komplexek. De ezeket összeadva, illetve a különbségüket i-vel beszorozva már valós megoldásokat kapunk (ezek az előbbi végzett műveletek lineárisak voltak, így a függvények megoldás mivoltán nem változtattak). Azaz:
a tér pedig:
bázis, mert lineárisan függetlenek és éppen ezért I. miatt előállítják Ker(A)-t.
Geometriai tenzorok
- Lásd erről még Serény jegyzetének (ps.gz/dvi) 30., 34-35., 70-72. oldalán.
A V = R2-ben, vagy R3-ban olyan matematikai objektumokat hozunk létre, melyek V minden bázisában felírva egy-egy mátrixszal jellemezhetők, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatására nézve, azaz mátrixaik egymással vett szorzata (vagy összege, vagy vektorral, számmal vett szorzata) egyenlő a szorzat mátrixával. Rn-ben ilyet könnyen találunk: ezek az L(Rn,Rn)-beli lineáris operátorok:
Definíció. Az L(Rn,Rn)-beli lineáris operátorokat tenzoroknak, vagy másodrendű tenzoroknak nevezzük.
Minthogy a tenzorok maguk is invariánsak, találhatunk velük kapcsolatos további vektor, tenzor vagy skalárinvariánsokat.
Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós V egy-egy bázisa. Legyen T a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a
(tehát ez invertálható tenzor). Tudjuk hogy, ha A tetszőleges tenzor, akkor ő egy lineáris leképezés, és emiatt
Ez a tenzorok invariáns tulajdonsága.
Az f(M) ∈ R (M ∈ Mn×n) skalárfüggvényt akkor nevezzük invariánsnak, ha minden B és C bázisra és A tenzorra:
Másként, minden B bázisra, T a B megváltoztató koordinátaváltó transzformációra és A tenzorra
ahol [.] a B-beli koordinátamátrixot jelenti.
Az m(M) ∈ Mn×n (M ∈ Mn×n) mátrixfüggvényt pedig akkor nevezzük invariánsnak, ha minden B és C bázisra és A tenzorra:
azaz ha m az A mátrixával együtt transzformálódik.
Determináns
Vegyük az M det(M) mátrixleképezést. A determinánsok szorzástétele szerint tetszőleges M és N mátrixra:
Emiatt ha A az A tenzor egy mátrixa és T a koordinátaváltó-mátrix, akkor:
Hiszen T-1T = I az egységmátrix.
Értelmes tehát az A tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det(A) az A tetszőleges mátrixának determinánsa.
Nyom, trace, spur
Vegyük a következő mátrix leképezést:
azaz a mátrixok főátlóbeli elemeinek összegét. Ez is invariáns, melyet a következőkkel bizonyíthatunk. Először is belátjuk a spur szimmetrikus tulajdonságát. Tetszőleges A, B mátrixra Sp(AB) = Sp(BA). Tudjuk, hogy két mátrix szorzata a következőképpen definiált:
ezért:
Ez a képlet azt mondja, hogy "spur alatt a mátrixok kommutálnak". Az invariancia pedig:
Ez a mennyiség tehát az A tenzor egy skalárinvariánsa.
Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok
Vegyük az A lineáris leképezést és ennek az S sztenderd bázisbeli mátrixát A-t. Ekkor világos, hogy az AT transzponált mátrixszal történő AT[v]S szorzás egy lineáris leképezés, tehát tenzor, tenzortranszponálás definíciója tehát az, hogy minden A tenzorhoz hozzárendeljük a következő lineáris leképezést:
ahol a mátrixszorzás.
Ám, ez nem minden bázisban viselkedik úgy, ahogy azt a transzponálástól elvárjuk, azaz ha B egy tetszőleges bázis, akkor az [A]BT már nem feltétlejül a T-1 ATT mátrix, ahogy azt várnánk. Ellenben ortonormált bázisokra és a köztük váltó ortogonális transzformációkra már igen. Ezután a tárgyalást csak ortonormált (azaz páronként merőleges, egységhosszúságú bázisvektorú) bázisokra és az ezek között váltó OT = O-1 egyenlőségnek eleget tévő távolságtartó vagy másként ortogonális transzformációkra szorítkozunk.
Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, [A]B=A és OT = O-1, akkor
(Felhasználtuk a szorzat transzponálásának (AB)T= BTAT szabályát -- nemdebár a mátrixszorzás nem kommutatív.) Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre szorítkozunk, akkor a AT fenti definíciója invariáns leképezést ad meg.
Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |a||b|cos γ definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak.
Az S tenzor szimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy S pontosan akkor szimmetrikus, ha minden u, v vektorra
- u(Sv)=v(Su),
ahol a skaláris szorzás.
Az A tenzor antiszimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy A pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden u, v vektorra
- u(Av)=-v(Au),
ahol a skaláris szorzás.
Bármely T tenzor egyértélműen előáll S + A alakban, ahol S szimmetrikus, A pedig antiszimmetrikus, éspedig:
Két fontos tétel:
Tétel -- Ha A ∈R3 (illetve R2 ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan a vektor (vagy a skalár), hogy minden v vektorra:
a-t (ill. a-t) az A vektorinvariánsának nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az a×( . ) opertátorral, azonos így A ez az operátor.
Főtengelyétel -- Ha S ∈Rn szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben S főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az S sajátértékei:
Ez nehéz, de fontos tétel.
A deriválttenzor invariánsai
Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r0 pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:
Minthogy az A deriválttenzor maga is tenzor, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek):
azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció. A divergencia a skalárinvariáns:
Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha az A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett differenciáloperátort a szokásos alakjában kapjuk:
Megjegyzés. A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az A deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot(v)=0.
Potenciál
A továbbiakban feltesszük, hogy a v vektorfüggvény folytonosan differenciálható.
Azt mondjuk, hogy a v vektorfüggvény potenciálos, ha van olyan u skalárfüggvény, mely differenciálható és
A v vektorfüggvény cirkulációja a Γ egyszerű zárt görbén a
vonalintegrál.
A potenciálosság rendkívül szoros kapcsolatban van a cirkulációval és a rotációval:
Tétel. Ha v folyt. diff. vektormező az A egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor az alábbi három kijelentés egymással egyenértékű (v folyt. diff. vektormező):
- v potenciálos,
- v rotációja minden pontban nulla,
- v cirkulációja minden zárt görbére nulla (más kifejezéssel: v konzetvatív).
Bizonyítás.
1. --> 2. Tegyük fel, hogy grad u = v, így rot v = rot grad u. Ekkor formálisan hivatkozhatunk például a vektoriális szorzás azon szabályára, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata 0, hisz
De itt végül is a Young-tételről van szó. Komponensenként kiírva:
kétszer folytonsan differenciálható u Hesse-mátrixa szimmertikus, azaz a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők, azaz a fenti összeg 0.
2. --> 3. Itt a Stokes-tételre kell hivatkoznunk:
egyszeresen összefüggő tartományban haladó Γ = ∂F görbére és tetszőleges olyan F felületre, melynek ő a pereme. De rot v mindenhol 0. így a jobb oldal 0, azaz cirkuláció is.
3. --> 1. Belátjuk, hogy van potenciál. Legyen a rögzített pont és b tetszőlegesen választott. Legyen Γ1 és Γ2 két tetszőleges görbe, mely a-ból b-be megy. Ekkor az egyszeres összefüggőség miatt a Γ2 -t visszfelé irányítva:
az a zárt görbe, mely az a-ból megy a Γ1 mentén a b-be és a b-ből megy a Γ2 mentén, de ellenkezőleg irányítva az a-ba. De v minden körintegrálj eltűnik, így
azaz
Tehát az
skalárfüggvény független az úttól és a felső határ szerinti gradiense ugyanúgy az integrandus, mint az egyváltozós valós függvények esetén. QED.
Az előbb említett, az integrálfüggvény deriválhatóságának tételének megvan a párja is. Ez az első gradientétel, mely végül is nem más, mint a Newton--Leibniz-formula többdimenziós általánosításai közül a legelső verzió:
Tétel.
(ha u folyt. diff. és egysz. öf. tartományon ért.)
A tétel beleillik a "nagy integrálátalakító tételek" sorába (Stokes-tétel, Gauss--Osztrogradszkij-tétel és most az I. gradienstétel), melyek alapszlogenje, hogy "integrál a peremen = a derivált integrálja belül", persze itt a perem az {a,b} véges halmaz, a derivált a gradiens, a "belül" pedig a Γ görbe. (S.-t-nél felület a belső, a határán futó zárt görbe a perem és rot a derivált, G--O-t nél térrész a belső, az őt határoló zárt felület a perem és div a derivált).
Potenciálkeresés.
- lásd: egzakt differenciálegyenlet megoldása (un. pancsolásos módszer), komplex potenciál keresése és harmonikus társ.
- grad u = rnr típusú differenciálegyenletek megoldása
Analitikus függvény reguláris
Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
Definíció – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor a
- ∑(an(idC-z0)n)
függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
hozzárendelési utasítással értelmezett, a
- {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál }
halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).
A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, és
akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.
Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.
Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:
Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az
sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:
A tétel
Reguláris egy függvény, ha egy nyílt halmazon komplex differenciálható. A hatványsorok ilyenek.
Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható a konvergenciakör belsejében.
Másként fogalmazva:
Analitikus függvény reguláris. Hiszen, ha f analitikus, akkor lokálisan hatványsor.
Bizonyítás. Belátjuk, hogy a hatványsor a középpont körüli elég kis körben mindenütt differenciálható. Legyen R a konvergenciasugár, egyelőre legyen r < R (később erre adunk becslést) és legyen
továbbá Δz olyan, hogy
még mindig teljesüljön.
A következő függvény z-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni:
Nem árulunk zsákbamacskát, formális tagonkénti deriválással megkapható az a sor, mely ennek a függvénynek a majdani deriváltja lesz:
Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z|< R, így:
Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést!
ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó
algebrai azonossággal alakítjuk át a hatványt, majd amivel lehet leosztunk és amit lehet kiemelünk:
Azt kell ellenőrizni, hogy második tényezőben lévő sor konvergens-e, hiszen ekkor a véges összeget a nullához tartóval összeszorozva nullához tartót kapunk. Ezt a gyökkritériummal látjuk be:
itt |z|-t korlátoztuk 1-nél kisebbre, |Δz|-t pedig nemnulla, de |z|-nél kisebbre (z=0 triviális eset). A konvergencia ekkor
amennyiben az |Δz| < |z| < r olyan, hogy r < 1/(2R).
Így a különbségi hányados minusz a majdani derivált abszolút eltérése felülbecsülhető egy nullához tartó szor korlátos függvénnyel, azaz P deriválató z-ben és a deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor. A korlátosság onnan adódik, hogy hatványsor összegfüggvénye folytonos és a min{1/(2R),R/2} sugarú zárt körön, mint kompakt halmazon korlátos.
Feladat. Legyen g:[a,b]C differenciálható görbe a komplex síkon, f komplex reguláris függvény, melyre: Ran(g) ⊆ Dom(f). Igazoljuk, hogy a h: t f(g(t)) is differenciálható és h'(t) = f'(g(t)) g'(t), ahol a komplex szorzás. (Használjuk fel, hogy 1) a komplex diffhatóság jellemzése az, hogy a függvény mint kétváltozós valós vektorfüggvény totálisan differenciálható és a Jacobi-mátrixa komplex számot reprezentál, 2) a reguláris komplex függvény deriváltja olyan komplex szám, melyet az f, mint kétváltozós valós vektorfüggvény Jacobi-mátrixa reprezentál.)
Komplex körintegrálok
Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámításával foglalkozunk.
Az f folytonos komplex függvény komplex integrálját egy szakaszonként folytonosan differenciálható G: [a,b] C görbe mengtén értelmezhetjük közvetlenül a C síkon a
Riemann-közelítőösszeg határátmenetével vagy a síkbeli vonalintegrálra visszavezetve. Ez utóbbi esetben válik kifehezetten szembetűnővé, hogy a fenti képletben a szorzás a komplex szorzás. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
- és
segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai, vagy a
- és
segédvektormezők síkbeli felületi integráljai szolgáltatják.
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az S = (s1, s2) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a ( − s2, s1) vektormező vonalintegrálja (a megfelelő irányítással).
megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.
(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. Differenciálforma -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
Primitívfüggvény
A G: [a,b] C görbe zárt görbe, ha G(a)=G(b). A zárt görbére vett integrál a körintegrál.
Az első eszköz a Newton--Leibniz-formulából következik, hisz ha F'=f, akkor ∫zw f = F(w) - F(z).
Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó zárt görbén eltűnik:
Példa. Az -nek van primitívfüggvény, így körintegrálja mindenütt eltűnik.
Példa. Paraméteresen kiszámolható, hogy
akrámilyen r > 0 sugárra. Tehát a teljes C \ {0}-n a reciproknak nincs primitívfüggvénye. (De egyszeresen összefüggő, a 0-t nem tartalmazó tartományon már van: a logaritmus.)
A komplex analízis főtétele
A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Gauss-tételhez, ha többet akarunk mondani:
Gauss-tétel (R2-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, síktartomány és legyen G : r=r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor
A tételben rendkívül lényeges az egyszeres összefüggőség kitétel (ahogy a folytonos differenciálhatóság is). Gondoljunk csak a térbeli v(r) = r/|r|3 vektormezőre. Ennek körintegrálja az origóközéppontú gömbön 4π, miközben a divergenciája mindenhol 0.
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a P ' és Q ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt a divergenciákat ki kell kiszámítanunk:
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
Innen
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
Cauchy-tétel vagy Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
Cauchy-formula
A Cauchy-formula azért múlhatatlan fontosságú, mert ennek a kifejezetten komplex jellegű állításnak a következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus.
Tétel. Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére:
Bizonyítás. Vegyünk a z0 körül egy olyan K kört, mely a pozitívan irányított G belsejében halad és r > 0 sugarú. Definiáljuk azt a görbét melyet a következőkppen kapunk. Metszük át egy befelé menő s sugárral a G és K közötti tartományt. Tegyük fel, hogy G és K kezdőpontjai a sugár metszetei. tákoljuk össze a következő görbét:
Világos, hogy ekkor a Γ-ra vett körintegrál eltűnik, másrész szakaszonként intergálva a Γ-n:
mivel az s-en oda-vissza integrálva az integrálösszeg nulla és a Γ-ban a negatívan irányított K-t kell venni. Emiatt:
Vagy hivatkozva egy a gyakorlaton vett lemmára: egyetlen izolált szinguláris hely körüli görbén az integrál ugyanaz, mint az integrál a pont körüli kis körön.
Márcsak ennek az f(z0)-lal arányos voltát kell belátni:
ebből a tagok:
-
- minthogy a reciprok körintegrálja 2πi (egy egyszerű zárt görbén).
-
másrészt az f függvény z0-beli folytonossága miatt tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan z0 körüli környezet, hogy ha K abban van, azaz a sugara, az r elég kicsi, akkor |f(z)-f(z0)| < ε; emiatt
Vagyis az utolsó tag nulla így a formulát megkaptuk.
Riemann-tétel
Tétel. Legyen U nyilt tartomány, z0 ∈ U. Ha f az U\{z0}-on reguláris és korlátos, akkor minden U-beli körintegrálja eltűnik.
Bizonyítás. Belátjuk, az f Laurent-sora csak reguláris részből áll a z0 körül. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr r sugarú körre:
hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb (vagy 1, és akkor a képletben és a végeredméybencsak K szerepel). Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
Feladat. Igazoljuk, hogy az C \ {0}-n értelmezett
függvény integrálja az egységkörre nulla!
Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés
Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:
hogy a
függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:
Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen
itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:
Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED
Következmény. Reguláris függvény analitikus.
Következmény. Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az f függvény a z0 izolált szinguláris pontja körüli sorfejtésében
- pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás megszűntethető,
- pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék z0-ban,
- pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék z0-ban.
%Feladat. Határozzuk meg az
%f(z)=\frac{}{}