Szerkesztő:Mozo/egyéb
Tükrözés síkra
Példa. Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel,
Young-tétel
Tétel (Gyenge Young-tétel) U = Bδ(a) ⊆ R2, f: U R,
- f ∈ Cω(U) (azaz minden (akárhanyadrendű) parciális deriváltja létezik, teljesen differenciálható U-n és a Taylor-sor előállítja f-et U-n)
akkor
- ∂21f = ∂12f
Bizonyítás. a=(u,v), (x,y)=(u+h,v+k) ∈ Bδ(a), A1 = ∂1f(a), A2 = ∂2f(a), Aij = ∂ijf(a).
ahol
harmadrendűen kicsiny, de differenciálható tagok. Ekkor
ez a (h,k)=(0,0)-ban:
mert a harmadrendűen kicsiny tagok a (h,k)=(0,0)-ban eltűnnek. Ugyanígy:
így ezek is egyenlők.
Gondolatkísérlet
ha az ε-ok diff.-hatóak, akkor:
ugyanígy
De ennél többet is mondhatunk. Ha az ε-okon kívül a parciális differenciálok és az epszilon másoderndű tagjának függvényegyütthatója is differenciálható, akkor: