Matematika A1a 2008/8. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Néhány topologikus fogalom
Ha A ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az A
- torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ A, de nem torlódási pontja A-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.
- határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.
Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.
Például egy nemelfajuló (nem egypontú, nem üres) intervallum végpontjai határpontjai az intervallumnak.
Függvényhatárérték
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden x ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:
Bal és jobboldali határérték:
Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:
Tétel. Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja és . Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
- f-nek a v határértéke az u-ban,
- minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.
Ennek a segítségével egy rendkívül hatékony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk:
Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
- de létezik mindkét egyoldali határértéke.
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke:
Ekkor x2n +∞ és x2n+1 -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz).
Határérték és műveletek
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
Feladat. Vizsgáljuk meg határérték szempontjából az
függvényt.
Határérték és rendezés
Két elvet használunk gyakran. Az egyik a "korlátos szor nullához tartó az nullához tart" , a másik a minorálás: ha g(x) az u-ban a + végtelenbe tart és f(x) az u környzetében nagyobb mint g(x), akkor f(x) is a végtelenbe tart.
A rendőr elv megfogalmazása házi feladat.
Feladat. Vizsgáljuk meg, hogy a
függvénynek létezik-e és ha igen mi a határértéke az értelmezési tartományai határpontjaiban!
Határérték és függvénykompozíció
Definíció. Ha f és g függvények, akkor az f g (függvénykompozíció vagy összetett függvény) hozzárendelési utasítása:
- másként:
értelmezési tartománya pedig:
Összetett függvények esetén a leggyakrabban használt, a határértékre vonatkozó állítás:
Tétel. Ha u torlódási pontja a Dom( f g) halmaznak, g injektív az u egy környzetén, létezik határértéke és f-nek létezik határértéke v = limu g-ben, akkor f g-nek is létezik határértéke u-ban és
Feladat. Határozzuk meg az
függvény határértékeit az értelmezési tartománya határpontjaiban!
Folytonosság és határérték kapcsolta
A folytonosságot, csak az értelmezési tartomány pontjaiban nézhetünk, hisz a definícióban f(u) is szerepel. Ellenben határértéket akár azon kívüli is nézhetünk (sőt!). Mégis, a két fogalom között szörös kapcsolt van:
1. Tétel. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen az u az f értelmezési tartományában. Ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- f folytonos u-ban
- u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u torlódási pontja Dom(f)-nek, létezik u-an határértéke és limuf = f(u)
2. Tétel. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik az f-nek olyan u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
- és
Feladat. Mi a határértéke 0-ban az
Feladat. Van-e folytonos kiterjesztése az
függvény?