Matematika A1a 2008/8. gyakorlat

A MathWikiből

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Néhány topologikus fogalom

Ha AR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az A

  • torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
  • izolált pontjának nevezzük, ha uA, de nem torlódási pontja A-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.
  • határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.

Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.

Például egy nemelfajuló (nem egypontú, nem üres) intervallum végpontjai határpontjai az intervallumnak.

Függvényhatárérték

Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a \scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}} elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden xA ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.

Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:


\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,

Bal és jobboldali határérték:


\exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(u,+\infty)}=v

\exists\lim\limits_{u-}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}f|_{(-\infty,u)}=v

Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:

Tétel. Legyen f egy az AR halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja és \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

  1. f-nek a v határértéke az u-ban,
  2. minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.

Ennek a segítségével egy rendkívül hatékony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk:

Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

  1. \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=+\infty
  2. \not\exists\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x} de létezik mindkét egyoldali határértéke.

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |x| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

\frac{1}{x^2}>\frac{1}{\varepsilon}

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

|x|<\sqrt{\varepsilon}

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |x| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke:

x_n=\frac{1}{n}(-1)^n\,

Ekkor x2n \to +∞ és x2n+1 \to -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz).

Határérték és műveletek

TételVégtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

 \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

Feladat. Vizsgáljuk meg határérték szempontjából az

f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-3x+2}\,

függvényt.

Mo.

f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)^2}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-2}{x-1}, ha x\ne 1;2

Határérték és rendezés

Két elvet használunk gyakran. Az egyik a "korlátos szor nullához tartó az nullához tart" , a másik a minorálás: ha g(x) az u-ban a + végtelenbe tart és f(x) az u környzetében nagyobb mint g(x), akkor f(x) is a végtelenbe tart.

A rendőr elv megfogalmazása házi feladat.

Feladat. Vizsgáljuk meg, hogy a

f(x)=\frac{\sin(x)\cdot \mathrm{sh}(x)}{e^{2x}}\,

függvénynek létezik-e és ha igen mi a határértéke az értelmezési tartományai határpontjaiban!

Mo.

f(x)=\frac{\sin(x)\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{e^{2x}}=\frac{\sin(x)\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{e^{2x}}=\frac{1}{2}\sin(x)(e^{-x}-e^{-3x})=
=\frac{1}{2}\sin(x)e^{-x}(1-e^{-2x})

Egyfelől

|f(x)|\leq \frac{1}{2}e^{-x}\to 0, ha x\to +\infty\,

Másfelől ha

x_k=\frac{\pi}{2}-k2\pi

akkor

f(x_k)=-\frac{1}{2}e^{-3x_k}(1-e^{4x_k})\geq-\frac{1}{2}e^{-3x_k}\to -\infty

miközben

f(k\pi)\equiv 0\to 0

tehát nincs határértéke a -∞-ben.

Határérték és függvénykompozíció

Definíció. Ha f és g függvények, akkor az f \circ g (függvénykompozíció vagy összetett függvény) hozzárendelési utasítása:

(f\circ g)(x)=f(g(x))\, másként: x\mapsto g(x)\mapsto f(g(x))\,

értelmezési tartománya pedig:

\mathrm{Dom}(f\circ g)=\{x\in \mathrm{Dom} \mid g(x)\in \mathrm{Dom}(f)\}

Összetett függvények esetén a leggyakrabban használt, a határértékre vonatkozó állítás:

Tétel. Ha u torlódási pontja a Dom( f \circ g) halmaznak, g injektív az u egy környzetén, létezik határértéke és f-nek létezik határértéke v = limu g-ben, akkor f \circ g-nek is létezik határértéke u-ban és

\lim\limits_{u}f\circ g=\lim\limits_{v}f\,

Feladat. Határozzuk meg az

f(x)=e^{\frac{x+1}{x}}\,

függvény határértékeit az értelmezési tartománya határpontjaiban!

Folytonosság és határérték kapcsolata

A folytonosságot, csak az értelmezési tartomány pontjaiban nézhetünk, hisz a definícióban f(u) is szerepel. Ellenben határértéket akár azon kívüli is nézhetünk (sőt!). Mégis, a két fogalom között szörös kapcsolt van:

1. Tétel. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen az u az f értelmezési tartományában. Ekkor a következők ekvivalensek egymással:

  1. f folytonos u-ban
  2. u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u torlódási pontja Dom(f)-nek, létezik u-an határértéke és limuf = f(u)

2. Tétel. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.

  1. \exists\lim\limits_{u}f=v\,
  2. létezik az f-nek olyan \scriptstyle{\overline{f}} u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
    \overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}} és \overline{f}(u)=v\,

Feladat. Mi a határértéke 0-ban az

f(x)=\sqrt{x^2+4}\,

Feladat. Van-e folytonos kiterjesztése az

f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}

függvény?

Szakadási pontok és azok osztályozása

Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. De a nem-folytonosságot ezért csak az értelmezési tartomány pontjaiban lehet értelmezni -- sokszor a nem-folytonosságot szakadásnak nevezik. Mi ennél tágabb fogalommal fogunk foglalkozni, szakadást a határpontokban is értelmezünk. Ekkor persze már nem lesz igaz az, hogy folytonos egy függvény, ha nincs szakadása, azt viszont értelmes ekkor is mondai, hogy folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartományána pontjaiban nincs szakadása.

Definíció. Szakadása van az f függvénynek a véges u pontban, ha u ∈ Dom(f), de f nem folytonos u-ban vagy u nem eleme Dom(f)-nek, de torlódási pontja Dom(f)-nek.

Egy szakadás elsőfajú, ha minden egyoldali határérték, mely értelmes az létezik is és véges. Ezekből kettő van: -- ugrás, amikor a bal és jobboldali határérték létezik de nem egyenlő és -- megszűntethető szakadás, ha nem ez a helyzet.

Másodfajú, ha nem elsőfajú.

Feladat. Milyenek az alábbi függvények szakadásai:

  1. \sin\left(\frac{1}{x}\right)\,
  2. x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,
  3. \frac{1}{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,
  4. \mathrm{ln}\left|x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\,

Nevezetes határértékek

\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm{ln}(1+x)}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\,
\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{arc\,tg}\,x=\frac{\pi}{2}

Példák

\frac{\mathrm{ln}(1+\sin x)}{\mathrm{ln}\cos x}\,
\lim\limits_{x\to \infty}x^2\cdot(e^{\frac{2}{x^2}-1})
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x + 4\pi}{\mathrm{arc\,tg}\,3x +\pi}

Példák Bolzanora és Weierstrassra

f(x)=e^{e^x}\,

felveszi-e a 2 értéket?

f(x)=e^{-\frac{x^2-1}{x}}

Felveszi-e a maximumát?

Differenciálhatóság

Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha

1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) \to R függvény és olyan mR szám, hogy:

  1. minden x ∈ Dom(f)-re
    f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
  2. ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.

Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)

2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)

Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.

A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:

\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\
\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.

ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx \to u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.

Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,

Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnű tag összegeként:

\ell(x)=f(u)+m(x-u), a lineáris és \varepsilon(x)(x-u) a nemlineáris

Példa. Igazoljuk, hogy

f(x)=e^{\sin x}\,

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor


\frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}

Ha most x \to 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.


Példa. Igazoljuk, hogy

f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor


\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}

Ha most x \to 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.

Feladatok (mindenféle gyors diff.)

1. Kiterjeszthető-e folytonosan ill. differenciálható módon az f(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right) ?

2. Hány zérushelye van az f(x)=\sqrt[4]{x}-\frac{1}{x^3} -nek?

3. Hány zérushelye van az f(x)=3x^4+8x^3+6x^2-1\, függvénynek?

4. Mik a határértékei az ért. tart. határain, milyen szakadása van, hol monoton, hol vannak a lokális szélsőértékei, hol konvex, konkáv?

a) f(x)=e^{1/x}\,

b) f(x)=\frac{x^2}{x+1}\,

c) f(x)=|x|e^x\,

Személyes eszközök