Matematika A3a 2009/7. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Komplex integrál
A komplex integrálás egy bizonyos pontig szoros párhuzamot mutat az R2-re vonatkozó integráltételekkel. Azonban Goursat eredményét figyelembe véve kiderül, hogy a nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvények egyetéen differenciálhatósági osztályt alkotnak (a valósokkal szemben), éspedig az analitikust, amit ezesetben regulárisnak neveznek.
Definíció szerint, ha f: D C egy nyílt tartományon értelmezett függvény és Γ:[a,b] C folytonosan differenciálható görbe, akkor a f integrálja a Γ mentén:
Fontos, hogy a fenti definícióban az f(z) Δz egy komplex szorzat.
Persze itt olyan fogalmakkal dolgozunk, amelyeket nyugodtan átfogalmazhatunk egy vonalintegrál párrá, a következőképpen. Tekintsük az f = u + v i függvényt és a dz = dx + i dy szimbólumot. Ekkort fdz komplex formális szorzát elvégezve kapjuk, hogy:
Integrál kiszámítása paraméteresen
A vonalintegál kiszámítására vonatkozó formula komplex változata az lesz, hogy:
Itt z(t)=Γ(t). De így ritkán számolunk komplex integrált.
1. Feladat.
Mo.
hiszen a paraméterezés z(t)=eit, t ∈ [0,π]. Egy vektorértékű valós változós függvényt komponensenként integrálunk:
2. Mo. Szerencsére a komplex analízisben van is van Newton--Leibniz formula:
Newton--Leibniz-tétel
R2 vektorfüggvényeinek integrálása könnyen elvégezhető, ha feltesszük hogy az integrandusnak van potenciálja. Ekkor az első gradiens tételre kell hivatkoznunk. Komplex esetben ez az összefüggés a valós N--L-formula alakját ölti.
Tétel (Newton--Leibniz) Ha f: D C folytonos a D nyílt halmazon és létezik primitív függvénye, akkor minden a D-ben haladó Γ[a,b] C görére:
ahol Γ kezdő és végpontja z(a) és z(b).
2. Feladat. Igazoljuk a N--L-tételt!.
Mo. Tegyük fel, hogy F'=f és legyen F = (Φ,Ψ), f=(u,v). Ekkor F deriváltja azonosítható a (Φ,Ψ) vektorfüggvény Jacobi-mátrixával, ami a feltevés szerint folytonos és egyenlő f=(u,v) mátrixalakjával.
Mindkét komponensre felírhatjuk tehát az első gadiens tételt, és kapjuk:
3. Feladat.
- a)
- b) Értelmezés sikertelen (lexikai hiba): \oint\limits_{|z|=1} \frac{1}{z}\,\mathrm{d}z=\?
Mo. a)
hiszen F(z)=-1/z-vel F'=f.
b)
ahol ln 1-et kétféleképpen, egyfelől az első, másfelől a második Riemann-levélen számoltuk ki. A logaritmus Riemann-felületén a logaritmus ugyanis már egyértékű.
Cauchy-tétel
A síkon a Stokes- és a Gauss-tétel közül elegendő csak az egyiket ismernünk, mert igazolható, hogy az egyik tétel átfogalmazható a másikba (lásd Serény György: Formális és személetes vektoranalízis). A rotáció és a divergencia ugyan különböznek egymástól, de szintén igazolható, hogy bizonyos értelemben egymással azonosíthatóak.
Legyen f reguláris az egyszeresen összefüggő U tartományon és legyen Γ tetszőleges egyszerű, zárt görbe D ⊆ U határa. Írjuk fel a Stokes-tételt!
A meglepő, hogy a Goursat-tétel miatt ez a tétel akkor is igaz, ha f-ről nem tesszük fel azt, amit a Stokes-tétel, azaz hogy folytonosan differenciálható.
Feladat. Legyen f:C \to C mindenhol reguláris kivéve az x0=0 pontban. Igazoljuk, hogy ekkor