A3 2009 gyak 2
A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. november 18., 22:19-kor történt szerkesztése után volt.
Szeparábilis differenciálegyenlet
1. Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
kezdeti feltételek mellett!
Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor
- ,
és
Megjegyzés. Minden R× R+-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.
Homogén fokszámú egyenlet
Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha
A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az
új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:
Ekkor
azaz
2. Oldjuk meg az egyenletet!
Mo. Tegyük föl, hogy x nem 0.
ezt kell megoldani. Nyilván külön pozitív és külin negatív intervallumokra (a 0 ne legyen benne). Ekkor:
- pozitív x-re
- negatív x-re