Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 3.

1. Legyen L₁ valódi altere az L vektortérnek (az az L₁$\ne$L). Igazoljuk, hogy ekkor $\mathrm{dim}\,L_1<\mathrm{dim}\,L$.

Mo. Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor $|F|\leq|B|\leq |G|$. L₁ egy B bázisa lineárisan független rendszer L-ben, így $|B|\leq n$, ahol $n=\mathrm{dim}\,L$.

Most tegyük fel indirekten, hogy |B|=n. Van olyan v vektor L-ben, ami független B-től, mert ha nem lenne, akkor B generátorrendszere lenne L-nek, amiből az következne, hogy L₁=L lenne. BU{v} tehát független rendszer, azaz van L-ben n+1 elemű független rendszer. De L minden független rendszere legfeljebb csak n elemű, ami ellentmondás.