Matematika közlek a3 2010 2. gyakorlat
Majoráns-, hányados-, gyök- és Leibniz-kritérium
Majoráns-kritérium -- Legyen (an) és (bn) olyan, hogy egy indextől kezdődően és ∑(bn) konvergens. Ekkor ∑(an) is konvergens (és ∑(bn) a majoráns sora).
Hányados-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a
- ha , akkor ∑(an) konvergens és
- ha , akkor ∑(an) divergens.
Gyök-kritérium -- Legyen (an) olyan, hogy létezik a
- ha , akkor ∑(an) konvergens és
- ha , akkor ∑(an) divergens.
Leibniz-kritérium -- Ha | an | monoton csökkenő módon tart a 0-hoz, akkor konvergens.
1.
Mo.
Függvénysorozatok
Az azonos A ⊆ C halmazon értelmezett komplex vagy valós függvények sorozatának konvergenciatartományán azzon K halmazt értjük, melyhez pontosan akkor tartozik az x pont, ha az (fn(x)) sorozat konvergens.
2. Függvénysorozatok pontonkénti konvergenciája
Mo. 1. Ha z=-3n, akkor a -z/4. tagja a sorozatnak nincs értelmezve a z pontban. Ezért a közös értelmezési tartomány: C \ {-3n | n}. Ebben az esetben a nevező n-ben legmagasabb fokú tagjával leosztva:
2.
de rögzített z-re ez egy mértani sorozat, azaz a konvergens |z|<1-re és akkor amikor z=1.
3. [-1,1)
4.
Hatványsorok
Hatványsor konvergenciahalmaza valós sor esetén intervallum, komplex esetén körlap.
3. Határozzuk meg a sorok konvergenciakörét és a határpontokban a sor konvergenciáját.