A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | ==Vonalintegrál== | ||
+ | :<math>\int \mathbf{v}\,\mathrm{d}\mathbf{r}=\int\limits_{t=t_1}^{t_2}\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot \dot{\mathbf{r}}(t)\mathrm{d}t</math> | ||
+ | |||
'''1.''' Integrálja a | '''1.''' Integrálja a | ||
:<math>v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)</math> | :<math>v(x,y,z)=(\mathrm{sh}(y^2\sqrt[3]{x})+\mathrm{ch}\,(x+y^3),z\,\mathrm{sh}\,(\cos y)+yz,z^5+y^2)</math> | ||
17. sor: | 20. sor: | ||
:<math>+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=</math> | :<math>+[t\cos t-\sin t]_0^{2\pi} +\frac{1}{6}[\sin^6t]_0^{2\pi}+[-t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t]_0^{2\pi}=</math> | ||
:<math>=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)=\mathrm{ch}(8\pi^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(16\pi^3)</math> | :<math>=\mathrm{ch}((2\pi)^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(2(2\pi)^3)=\mathrm{ch}(8\pi^3)-1+\frac{1}{2}\mathrm{sh}(16\pi^3)</math> | ||
+ | |||
+ | ==Rotációmentes vektormező, potenciál== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' Ha '''v'''('''r''') egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot '''v''' ≡ '''0''', akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (Konzervatív vektormezők jellemzése) '''v'''('''r''') egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással: | ||
+ | # rot '''v''' ≡ '''0''' (örvénymentes) | ||
+ | # minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív) | ||
+ | # létezik Φ('''r''') folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ '''v''' (potenciálos) | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (Első gradiens tétel) Ha a '''v'''('''r''') egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
'''2.''' Integráljuk a | '''2.''' Integráljuk a | ||
45. sor: | 60. sor: | ||
:<math>s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)</math> | :<math>s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)</math> | ||
Ezzel | Ezzel | ||
− | :<math>\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\ | + | :<math>\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-z_0^2t\mathrm{d}t=</math> |
A lap 2009. október 27., 11:14-kori változata
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel