A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felületi integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Gauss-tétel) |
||
93. sor: | 93. sor: | ||
:<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)</math> | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)</math> | ||
==Gauss-tétel== | ==Gauss-tétel== | ||
− | '''5.''' Számítsuk ki | + | '''5.''' Számítsuk ki az |
:<math>x^2+y^2=z</math> | :<math>x^2+y^2=z</math> | ||
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a | felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a | ||
− | :<math>v(x,y,z)=(3x-zx^2+\sin y,\mathrm{sh}\,z^2+5xy+ | + | :<math>v(x,y,z)=(3x-zx^2+\sin y,\mathrm{sh}\,z^2+5xy+2006y,xz^2-5xz+4x)\,</math> |
vektormező felületmenti integrálját! | vektormező felületmenti integrálját! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával. | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\,v(x,y,z)=(3-2zx)+(5x+2006)+(2xz-5x)=2009\,</math> | ||
+ | Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra) | ||
+ | :<math>r(\rho,\varphi,z)=\begin{bmatrix}\rho\cos\varphi\\\rho\sin\varphi\\z\end{bmatrix}</math> | ||
+ | és a tartomány: | ||
+ | :<math>T_{\rho,\varphi,z}=\{(\rho,\varphi,z)\mid 0\leq\varphi\leq 2\pi,\;1\leq z\leq 4\;0\leq\rho\leq \sqrt{z}\}</math> | ||
+ | hiszen | ||
+ | :<math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z}</math> | ||
+ | tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál: | ||
+ | :<math>\mathrm{det}\,\mathrm{J}(\varphi,\rho,z)=\rho</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | <math>\int\limits_{T_{x,y,z}}\mathrm{div}\,v(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=\int\limits_{T_{\rho,\varphi,z}}\rho\,\mathrm{div}\,v(x(\rho,\varphi,z),y(\rho,\varphi,z),z)\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{z=1}^{4}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\rho=0}^{\sqrt{z}}2009\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z</math> |
A lap 2009. október 28., 12:38-kori változata
Tartalomjegyzék |
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban:
Gauss-tétel
5. Számítsuk ki az
- x2 + y2 = z
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a
vektormező felületmenti integrálját!
Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.
Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)
és a tartomány:
hiszen
tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:
ezért