A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Gauss-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Rotációmentes vektormező, potenciál) |
||
33. sor: | 33. sor: | ||
:<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
+ | '''Stokes-tétel''' Ha ''v'' egy folytonosan differenciálható vektormező és ''F'' olyan felület, mely peremével együtt a ''v'' értelmezési tartományában van, akkor | ||
+ | :<math>\int\limits_{\partial F} v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{F}\,\mathrm{rot}\,v\,\mathrm{d}F</math> | ||
+ | (megj.: ha ''G'' egy ''egyszeresen összefüggő'' tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan ''F'' felület ezen belül, melynek pereme ''G''.) | ||
+ | |||
'''2.''' Integráljuk a | '''2.''' Integráljuk a | ||
:<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | :<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | ||
68. sor: | 72. sor: | ||
Ezzel a görbére a vonalintegrál: | Ezzel a görbére a vonalintegrál: | ||
:<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | :<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | ||
+ | |||
==Felületi integrál== | ==Felületi integrál== | ||
A lap 2009. október 28., 15:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
Stokes-tétel Ha v egy folytonosan differenciálható vektormező és F olyan felület, mely peremével együtt a v értelmezési tartományában van, akkor
(megj.: ha G egy egyszeresen összefüggő tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan F felület ezen belül, melynek pereme G.)
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban:
Gauss-tétel
Ha v folytonosan differenciálható vektormező és V az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂V felület, akkor
5. Számítsuk ki az
- x2 + y2 = z
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a
vektormező felületmenti integrálját!
Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.
Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)
és a tartomány:
hiszen
tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:
ezért