A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Rotációmentes vektormező, potenciál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (\) |
||
97. sor: | 97. sor: | ||
Az adott pontban: | Az adott pontban: | ||
:<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)</math> | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3),\quad \frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0),\quad \frac{\partial r}{\partial v}\times\frac{\partial r}{\partial v}=(-3,0,0)</math> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(\frac{1}{x},\frac{x}{y^2},\frac{1}{z^3})</math> | ||
+ | vektormezőt! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: ''r''(φ,θ)=(''x''(φ,θ),''y''(φ,θ),''z''(φ,θ)) | ||
+ | :<math>x=\cos\varphi\cos\vartheta</math> | ||
+ | :<math>y=\sin\varphi\cos\vartheta</math> | ||
+ | :<math>z=\sin\vartheta</math> | ||
+ | A koordinátavonal irányú vektorok: | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \varphi}=(-\sin\varphi\cos\vartheta,\cos\varphi\cos\vartheta,0)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(-\cos\varphi\sin\vartheta,-\sin\varphi\sin\vartheta,\cos\vartheta)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial \varphi}\times\frac{\partial r}{\partial \vartheta}=(\cos^2\vartheta\cos\varphi,\cos^2\vartheta\sin\varphi,\cos\vartheta\sin\vartheta)</math> | ||
+ | Az integrál: | ||
+ | :<math>\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\frac{\cos^2\vartheta\cos\varphi}{\cos\varphi\cos\vartheta}+\frac{\cos^2\vartheta\sin\varphi\cos\varphi\cos\vartheta}{\sin^2\varphi\cos^2\vartheta}+\frac{\cos\vartheta\sin\vartheta}{\sin^3\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\cos^2\vartheta+\frac{\cos\varphi\cos \vartheta}{\sin\varphi}+\frac{\cos\vartheta}{\sin^2\vartheta}\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\vartheta=</math> | ||
+ | |||
==Gauss-tétel== | ==Gauss-tétel== | ||
Ha '''v''' folytonosan differenciálható vektormező és ''V'' az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂''V'' felület, akkor | Ha '''v''' folytonosan differenciálható vektormező és ''V'' az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂''V'' felület, akkor |
A lap jelenlegi, 2009. október 28., 16:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
Stokes-tétel Ha v egy folytonosan differenciálható vektormező és F olyan felület, mely peremével együtt a v értelmezési tartományában van, akkor
(megj.: ha G egy egyszeresen összefüggő tartománybeli zárt görbe, akkor mindig létezik olyan F felület ezen belül, melynek pereme G.)
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban:
4. Integráljuk a felső egységsugarú, origóközépponttú félgömbefelületre az
vektormezőt!
Mo. Paraméterezzük gömbi koordinátákkal: r(φ,θ)=(x(φ,θ),y(φ,θ),z(φ,θ))
A koordinátavonal irányú vektorok:
Az integrál:
Gauss-tétel
Ha v folytonosan differenciálható vektormező és V az értelmezési tartományába eső kompakt térrész, melynek határa a ∂V felület, akkor
5. Számítsuk ki az
- x2 + y2 = z
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a
vektormező felületmenti integrálját!
Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.
Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)
és a tartomány:
hiszen
tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:
ezért