A3 2009 gyak 1
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
:<math>\int v\,\mathrm{d}r=12</math> | :<math>\int v\,\mathrm{d}r=12</math> | ||
− | (2) | + | (2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és |
+ | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
+ | Ezért legyen | ||
+ | :<math>\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r</math> | ||
+ | Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe: | ||
+ | :<math>s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)</math> | ||
+ | Ezzel | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limit_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-z_0^2t\mathrm{d}t=</math> |
A lap 2009. október 27., 11:05-kori változata
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
- Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\limit): \int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limit_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-z_0^2t\mathrm{d}t=