A3 2009 gyak 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Rotációmentes vektormező, potenciál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Rotációmentes vektormező, potenciál) |
||
68. sor: | 68. sor: | ||
Ezzel a görbére a vonalintegrál: | Ezzel a görbére a vonalintegrál: | ||
:<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | :<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | ||
+ | ==Felületi integrál== | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Határozzuk meg az | ||
+ | :<math>r(u,v)=(\cos u\,\mathrm{ch}\,v,\cos u\mathrm{sh}\,v,3\sin u),\quad\quad (u,v)\in [0,4]\times [0,2]</math> | ||
+ | felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel | ||
+ | :<math>x=\cos u\,\mathrm{ch}\,v</math> | ||
+ | :<math>y=\cos u\mathrm{sh}\,v</math> | ||
+ | :<math>z=3\sin u</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math>x^2-y^2=\cos^2u(\mathrm{ch}^2\,v-\mathrm{sh}^2\,v)=\cos^2 u</math> | ||
+ | :<math>x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2=1</math> ill. <math>x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2-1=0</math> | ||
+ | Ekkor az | ||
+ | :<math>F(x,y,z)=x^2-y^2+\frac{1}{9}z^2-1\,</math> | ||
+ | gradiense a normálvektort adja: | ||
+ | :<math>n(x,y,z)=\mathrm{grad}\,F=(2x,-2y,\frac{2}{9}z)\,</math> | ||
+ | azaz az adott pontban | ||
+ | :<math>n(x(u,v),y(u,v),z(u,v))=(-2,0,0)\,</math> | ||
+ | (2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja. | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial u}=(-\sin u\,\mathrm{ch}\,v,-\sin u\,\mathrm{sh}\,v,3\cos u)\,</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(\cos u\,\mathrm{sh}\,v,\cos u\,\mathrm{ch}\,v,0)\,</math> | ||
+ | Az adott pontban: | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,0,-3)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial r}{\partial v}=(0,-1,0)</math> |
A lap 2009. október 27., 12:21-kori változata
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
- z = 3sinu
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban: