A3 2009 gyak 1
Tartalomjegyzék |
Vonalintegrál
1. Integrálja a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo.
-
- itt
- és
ezért
Rotációmentes vektormező, potenciál
Tétel Ha v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett differenciálható függvény, amire rot v ≡ 0, akkor minden zárt görbére a vonalintegrálja 0.
Tétel (Konzervatív vektormezők jellemzése) v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosa differenciálható függvény. Ekkor a következő három kijelentés ekvivalens egymással:
- rot v ≡ 0 (örvénymentes)
- minden zárt görbére a vonalintegrálja 0 (konzervatív)
- létezik Φ(r) folytonosan differenciálható skalárfüggvény, hogy grad Φ ≡ v (potenciálos)
Tétel (Első gradiens tétel) Ha a v(r) egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett folytonosan differenciálható függvény potenciálos és Φ a potenciálja, akkor
2. Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
A görbe azonban nem zárt, így nem használhatjuk közvetlenül a Stokes-tételt. Két megoldási módot választhatunk.
(1) Kiegészítjük egy egyszerű görbével zárttá. A két végpont:
ezeket paraméter szerint növekvő módon az
Köti össze. Ekkor r+r2 már zárt és
(2) Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Felületi integrál
3. Határozzuk meg az
felület normálvektorát a (u,v)=(π,0)-hoz tartozó pontban!
Mo. (1) Felírhatjuk például a görbét implicit alakban. Mivel
ezért
- ill.
Ekkor az
gradiense a normálvektort adja:
azaz az adott pontban
(2) A felületi normálist a koordinátavonal irányú vektorok vektoriális szorzata is kiadja.
Az adott pontban:
Gauss-tétel
5. Számítsuk ki az
- x2 + y2 = z
felület z=1 és z=4 síkok közé eső darabjára a
vektormező felületmenti integrálját!
Mo. Vegyük észre, hogy a fedő és alaplapokon a vektormezőnek csak felületirányú komponense van, ezért ezeken a vektormező integrálja 0. A vektormező divergenciájának integrálja a térrészre tehát egyenlő lesz a palást felületi integráljával.
Beparaméterezve a forgástestet (áttérve hengerkoordinátákra)
és a tartomány:
hiszen
tudjuk, hogy a hengerkoordinátáknál:
ezért