A3 2009 gyak 2

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2009. november 19., 16:59-kori változata

Szeparábilis differenciálegyenlet

1. Oldjuk meg az

$y'=\sin(x)y\,\mathrm{ln}\,y$

egyenletet az

a) $y(0)=1\,$

b) $y(0)=e\,$

kezdeti feltételek mellett!

Mo. a) Az egyenlet konstans megoládsa az y(x)=1. Ez a kezdeti feltételnek megfelel.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

$\frac{1}{y\,\mathrm{ln}\,y}y'=\sin x$

$\frac{1}{y}\mathrm{ln}^{-1}(y)y'=\sin x$

$\mathrm{ln}\,|\mathrm{ln}\,y|=-\cos x+C$

ez az implicit egyenlet. Ha x=0 és y=e, akkor

$0=-1+C\,$ , $C=1\,$

és

$y(x)=e^{e^{(1-\cos x)}}$

Megjegyzés. Minden R× R⁺-beli kezdeti feltételre egyértelműen létezik a megoldás.

Homogén fokszámú egyenlet

Azt mondjuk, hogy az y' = F(x,y) egyenlet homogén fokszámú, ha

$F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y)\,$

A homogén fokszámú egyenlet megoldása visszavazethető a szeparálásra az

$u=\frac{y}{x}\,$

új változó bevezetésével, ahol u = u(x) az ismeretlen függvény. Tehát:

$y=ux\,$

Ekkor

$(xu)'=u+xu'=y'\,$

azaz

$y'=u'x+u\,$

2. Oldjuk meg az

y' x y 3 = x 4 + y 4

egyenletet! Mo. Általános megoldás:

(u' x + u) x u 3 x 3 = x 4 + u 4 x 4

u' x + u 4 = 1 + u 4

u' x = 1

$u'=\frac{1}{x}$

$\frac{u^2}{2}=\mathrm{ln}\,|x|+C$

Laurent-sorfejtés

5. Határozzuk meg az

$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-3)}$

nulla körüli Laurent-sorait!

Mo.

$f(z)=c\left(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-3}\right)=-\frac{1}{2}\frac{z-3-z+1}{(z-1)(z-3)}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-3}\right)$

alkalmas tehát a c=-1/2.

Ha |z|<1, akkor

$\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-z}=-\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} -z^n$

Ha |z|>1, akkor

$\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^{-n-1}$

A másik tag:

Ha |z/3|<1, azaz |z|<3

$\frac{1}{z-3}=-\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{z}{3}}=-\frac{1}{3}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}z^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{3^{n+1}}z^n$

Ha |z|>3 , akkor

$\frac{1}{z-3}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{3}{z}}=\frac{1}{z}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3^nz^{-n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3^nz^{-n-1}$

Tehát a Laurent-sorok:

|z|<1 esetén reguláris:

$f(z)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} -z^n+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}z^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3^n}-1\right)z^n$

1<|z|<3 esetén vegyes:

$f(z)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^{-n-1}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}z^n=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}\begin{cases}z^n, & n<0 \\ (\frac{1}{3^n}-1)z^n, &n\geq 0\end{cases}$

|z|>3 esetén csak főrész:

$f(z)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^{-n-1}-\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} 3^nz^{-n-1}=\sum\limits_{n=-\infty}^{-1}\frac{1}{2}(1-3^{-n-1})z^n$

HF Fejtsük sorba a 0 körül az

$f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,$

függvényt!

@@ 32. sor: / 32. sor: @@
 :<math>y'=u'x+u\,</math>
 '''2.''' Oldjuk meg az
+:<math>y'xy^3=x^4+y^4</math>
+egyenletet!
+''Mo.'' Általános megoldás:
+:<math>(u'x+u)xu^3x^3=x^4+u^4x^4</math>
+:<math>u'x+u^4=1+u^4</math>
+:<math>u'x=1</math>
+:<math>u'=\frac{1}{x}</math>
+:<math>\frac{u^2}{2}=\mathrm{ln}\,|x|+C</math>
+<!--
 <math>y'x=y+\sqrt{x^2+y^2}\,</math>
 egyenletet!
@@ 44. sor: / 56. sor: @@
 :<math>\mathrm{arsh}\,y=-\mathrm{ln}\,|x|+C</math> negatív x-re
-<!--
 :<math>\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,1+u^2=c+\mathrm{ln}\,|x|\,</math> itt ''c'' tetszőleges valós szám
 :<math>\mathrm{ln}\sqrt{1+u^2}=\mathrm{ln}\,C|x|\,</math> itt ''C'' tetszőleges pozitív szám éspedig ln ''c'' = ''C''.
@@ 115. sor: / 127. sor: @@
 :d) <math>r(z)=\frac{1}{\sin 2z}</math>
 függvények 0-beli reziduumát, egységkörön vett integrálját és szakadásának jellegét!
+-->
 ==Laurent-sorfejtés==
 '''5.''' Határozzuk meg az
@@ 149. sor: / 161. sor: @@
 :<math>f(z)=\frac{1}{z(1+z^2)}\,</math>
 függvényt!
--->

A3 2009 gyak 2

A lap 2009. november 19., 16:59-kori változata

Szeparábilis differenciálegyenlet

Homogén fokszámú egyenlet

Laurent-sorfejtés

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök