A3 2009 vizsga 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex függvénytan) |
||
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
32. sor: | 32. sor: | ||
:<math>xy=\lambda \,</math> | :<math>xy=\lambda \,</math> | ||
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). | Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). | ||
+ | ==Integrálátalakító tételek== | ||
+ | '''2. a)''' Számítsa ki a '''v'''(x,y,z)=(3x<math>\cos^2z</math>,3x<math>e^z</math>+3y<math>\sin^2z</math>,z) vektormező intregálját a hengerkoordinátákban megadott '''r'''(φ,''r'')=(r cos φ,r sin φ,1-<math>r^2</math>), r∈[0,1], φ∈[0,2π] felületen! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' A Gauss-tételt használjuk. A felület egy forgási paraboloid, melyet az [xy] síkkal lezárhatunk. Az [xy] sík mentén a vektortérnek csak [xy] irányú komponense van, tehát ennek a járuléka az integrálhoz 0. A divergencia: | ||
+ | :<math>\mathrm{div}\,\mathbf{v}=4</math> | ||
+ | A bezárt térrész paraméterezése: | ||
+ | :<math>\{(r,\varphi, h)\mid 0\leq r\leq 1,0\leq \varphi\leq 2\pi, 0\leq h\leq 1-r^2\}</math> | ||
+ | A Jacobi-determináns hengrekoordinátázás esetén det J = r, így | ||
+ | :<math>\int\limits_{r=0}^{1}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{h=0}^{1-r^2} 4r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\,\varphi\,\mathrm{d}\,h=</math> | ||
+ | <math>=\int\limits_{r=0}^{1}8\pi r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\int\limits_{r=0}^{1}-2 r (1-r^2)\,\mathrm{d}r=-4\pi\frac{(1-r^2)^2}{2}|_0^1=+2\pi</math> | ||
+ | |||
+ | '''2. b)''' Integráljuk a | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | ||
+ | vektormezőt az | ||
+ | :<math>r(t)=(3\cos t,4\sin t,2)\quad\quad 0\leq t\leq \pi</math> | ||
+ | görbe mentén! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' A vektormező rotációmentes: | ||
+ | :<math>\mathrm{rot}\, v=\begin{vmatrix}i & j & k\\ \partial_x & \partial_y &\partial_z \\ 2xy-z & x^2+z & y-x\end{vmatrix}=i(1-1)-j(-1-(-1))+k(2x-2x)\equiv 0</math> | ||
+ | |||
+ | Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és | ||
+ | :<math>\int\limits_{r_1}^{r_2}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\Phi(r_2)-\Phi(r_1)\,</math> | ||
+ | Ezért legyen | ||
+ | :<math>\Phi(r):=\int\limits_{0}^{r}\mathrm{grad}\, \Phi\,\mathrm{d}r=\int\limits_{0}^{r}v\,\mathrm{d}r</math> | ||
+ | :<math>v(x,y,z)=(2xy-z,x^2+z,y-x)\,</math> | ||
+ | Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe: | ||
+ | :<math>s(t)=(x_0t,y_0t,z_0t),\quad\quad 0\leq t\leq 1,\quad\quad \dot{s}(t)=(x_0,y_0,z_0)</math> | ||
+ | Ezzel | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{(x_0,y_0,z_0)}v\,\mathrm{d}r=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0(x_0ty_0t)-x_0z_0t+y_0(x_0t)^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0 t\;\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | :<math>=\int\limits_{t=0}^{1} 2x_0^2y_0t^2-x_0z_0t+y_0x_0^2t^2+y_0z_0t+z_0y_0t-x_0z_0t\;\mathrm{d}t=</math> | ||
+ | :<math>=\frac{2}{3}x_0^2y_0-\frac{1}{2}x_0z_0+\frac{1}{3}y_0x_0^2+\frac{1}{2}y_0z_0+\frac{1}{2}z_0y_0-\frac{1}{2}z_0x_0=x_0^2y_0+y_0z_0-x_0z_0</math> | ||
+ | Ellenőrizzük! | ||
+ | :<math>\frac{\partial\Phi}{\partial x}=2xy+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x^2+z,\quad\quad\frac{\partial\Phi}{\partial z}=y-x</math> | ||
+ | Ezzel a görbére a vonalintegrál: | ||
+ | :<math>\Phi(-3,0,2)-\Phi(3,0,2)=12</math> | ||
+ | ==Komplex függvénytan== | ||
+ | '''3. a)''' Számítsuk ki az | ||
+ | :<math>f(z)=(1+z)^2(e^{\frac{1}{1+z}}-1)\,</math> (illetve <math>g(z)=\sin\frac{1}{-z^3}</math>) | ||
+ | -1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját és ott a szakadás jellegét! | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>e^{\frac{1}{1+z}}=1+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...\,</math> | ||
+ | ezért | ||
+ | :<math>f(z)=(1+z)^2(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{2}\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{1}{3!}\frac{1}{(1+z)^3}+...)=</math> | ||
+ | Ez a Laurent-sor. Tehát | ||
+ | :<math>\mathrm{Res}_{z_0=-1}f=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}</math> | ||
+ | Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül: | ||
+ | :<math>\int\limits_{|z+1|=1}f(z)\,\mathrm{d}z=2\pi\frac{1}{6}=\frac{\pi}{3}</math> | ||
+ | a szakadás ''lényeges'' szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban. | ||
+ | :<math>g(z)=-\frac{1}{z^3}+\frac{1}{3!z^9}-...\,</math> | ||
+ | Ez a Laurent-sor. Res g = 0, integrálja 0. A ''szakadás'' lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban. |
A lap jelenlegi, 2010. január 9., 20:31-kori változata
Differenciálgeometria
1. a) Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:
Az érintő egyenes vektoregyenlete
1. b) Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát! Mennyi t, ha a [0,t] intervallumon a görbe ívhossza 1 egység?
Mo.
A második kérdésre a választ az ívhossz paraméteres felításával tudhatjuk meg. Az integrálási változó legyen egy t-től különböző betű, mondjuk τ vagy t' vagy u. Ekkor
Innen t:
1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?
Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1).
Integrálátalakító tételek
2. a) Számítsa ki a v(x,y,z)=(3xcos2z,3xez+3ysin2z,z) vektormező intregálját a hengerkoordinátákban megadott r(φ,r)=(r cos φ,r sin φ,1-r2), r∈[0,1], φ∈[0,2π] felületen!
Mo. A Gauss-tételt használjuk. A felület egy forgási paraboloid, melyet az [xy] síkkal lezárhatunk. Az [xy] sík mentén a vektortérnek csak [xy] irányú komponense van, tehát ennek a járuléka az integrálhoz 0. A divergencia:
A bezárt térrész paraméterezése:
A Jacobi-determináns hengrekoordinátázás esetén det J = r, így
2. b) Integráljuk a
vektormezőt az
görbe mentén!
Mo. A vektormező rotációmentes:
Megmondjuk a vektormező potenciálfüggvényét; ezt is vonalintegrállal. Tudjuk, hogy a rot v ≡ 0 miatt létezik Φ, amivel grad Φ = v és
Ezért legyen
Legyen a kezdőpont (0,0,0), a görbe:
Ezzel
Ellenőrizzük!
Ezzel a görbére a vonalintegrál:
- Φ( − 3,0,2) − Φ(3,0,2) = 12
Komplex függvénytan
3. a) Számítsuk ki az
- (illetve )
-1 (0) körüli Laurent-sorát, -1-beli (0-beli), reziduumát és a -1 (0) körüli egységsugarú körön vett integrálját és ott a szakadás jellegét!
Mo.
ezért
Ez a Laurent-sor. Tehát
Ez az egyetlen szinguláris hely, ezért az integrál ekörül:
a szakadás lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban.
Ez a Laurent-sor. Res g = 0, integrálja 0. A szakadás lényeges szingularitás, mert ∞ sok főtagvan a Laurent-sorban.