A3 2009 vizsga 1
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálgeometria) |
||
30. sor: | 30. sor: | ||
:<math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\begin{bmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}\end{bmatrix}</math>, <math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}=\begin{bmatrix}1\\0\\ -\frac{1}{y}\frac{1}{x^2}\end{bmatrix}</math> | :<math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\begin{bmatrix}0\\1\\ -\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}\end{bmatrix}</math>, <math>\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}=\begin{bmatrix}1\\0\\ -\frac{1}{y}\frac{1}{x^2}\end{bmatrix}</math> | ||
A normális: | A normális: | ||
− | :<math>\mathbf{n}(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}</math> | + | :<math>\mathbf{n}(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial x}\times\frac{\partial\mathbf{r}(x,y)}{\partial y}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{y}\frac{1}{x^2}\\\frac{1}{x}\frac{1}{y^2}\\ 1\end{bmatrix}</math> |
A lap 2009. december 14., 21:29-kori változata
Differenciálgeometria
1. a) Határozza meg az
görbe azon pontjabeli érintőegyenesének egyenletrendszerét, mely a t=1 értékhez tartozik!
Mo. Az érintőegyenes irányvektora az r függvény t=1-beli deriváltvektora:
Az érintő egyenes vektoregyenlete
1. b) Határozzuk meg a
- ,
györbeszakasz ívhosszát!
Mo.
1. c) Mely pontokban párhuzamos az xyz=1 egyenletű felület érintősíkja az x+y+z=5 síkkal?
Mo. 1. mo) Legyen F(x,y,z)=xyz-1. Ekkor a felület egyenlete: F(x,y,z)=0. A felület normálvektorai: grad F = (yz,xz,xy). Kell, hogy grad F párhuzamos legyen az (1,1,1) vektorral, azaz létezzen λ, hogy grad F=λ(1,1,1), azaz
Ekkor x=y=z és λ=+1,-1. Tehát az F=0-t, azaz z=1/xy-t kielégítő megoldások (1,1,1), (-1,-1,1). 2. mo) Paraméterezzük a felületet!
A koordinátavonalak érintői:
- ,
A normális: