A3 2016 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sorfejtés) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
36. sor: | 36. sor: | ||
'''2. a) ''' Oldjuk meg az | '''2. a) ''' Oldjuk meg az | ||
:<math>e^{\frac{i}{z}}=\sqrt{3}+i</math> | :<math>e^{\frac{i}{z}}=\sqrt{3}+i</math> | ||
− | + | egyenletet! | |
− | ''Mo.'' | + | ''Mo.'' |
+ | :<math>\sqrt{3}+i=e^{\ln 2}e^{i\frac{\pi}{6}}</math> | ||
+ | mert a szöge 30 fok, a hossza 2. Ezért az egyenlet: | ||
+ | :<math>e^{\frac{i}{z}}=e^{\ln 2 +i\frac{\pi}{6}}</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\frac{i}{z}=\ln 2 +i\frac{\pi}{6}+2\pi i k</math> | ||
+ | :<math>z=\frac{\frac{\ln 2}{i} +\frac{\pi}{6}+2\pi i k}</math> |
A lap 2016. május 2., 15:27-kori változata
Laurent-sorfejtés
1. Határozzuk meg az
függvény 1 körüli Laurent-sorait!
Mo. Mivel z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért
és valóban, mert
azaz
A sort a z0 = 1 körül kell sorba fejteni, azaz a z − 1 hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:
Két szingularitás: z = 4 és z = 2i. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és . Tehát három lehetőségünk van:
- I. A körlap,
melyen belül a sor reguláris és z − 1-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "z − 1 melletti tagból csinálunk mértani sort":
Alkalmazva a
formulát, ha | q | < 1 a
- és
hányadosokra kapjuk:
- II. A körgyűrű,
melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":
Tehát itt:
- Végül a |z-1|>3 körgyűrűn
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!
Egyenlet megoldás
2. a) Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo.
mert a szöge 30 fok, a hossza 2. Ezért az egyenlet:
azaz
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): z=\frac{\frac{\ln 2}{i} +\frac{\pi}{6}+2\pi i k}