A3 2016 gyak 2
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum és körintegrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Reziduum és körintegrál) |
||
75. sor: | 75. sor: | ||
''Mo.'' a) Szingularitásai: <math>z=k\pi\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. | ''Mo.'' a) Szingularitásai: <math>z=k\pi\,</math>, tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad. | ||
− | ''1. megoldás.'' Itt viszont | + | ''1. megoldás.'' Itt viszont megszüntethető a szakadás, mert a |
:<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}=1,\qquad \lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin z}{z}=1</math> | :<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}=1,\qquad \lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin z}{z}=1</math> | ||
miatt | miatt |
A lap 2016. május 2., 21:01-kori változata
Tartalomjegyzék |
Laurent-sorfejtés
1. Határozzuk meg az
függvény 1 körüli Laurent-sorait!
Mo. Mivel z-2i-(z-4)=-2i+4, ezért
és valóban, mert
azaz
A sort a z0 = 1 körül kell sorba fejteni, azaz a z − 1 hatványai szerepelnek majd az összegben. Ehhez z-1-nek szerepelnie kell a nevezőkben:
Két szingularitás: z = 4 és z = 2i. Ezeknek a távolsága a középponttól:</math> |1-4|=3 és . Tehát három lehetőségünk van:
- I. A körlap,
melyen belül a sor reguláris és z − 1-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek a sorban. Ilyenkor "z − 1 melletti tagból csinálunk mértani sort":
Alkalmazva a
formulát, ha | q | < 1 a
- és
hányadosokra kapjuk:
- II. A körgyűrű,
melyben az első tag reguláris, de a második már nem. Ilyenkor "a z-1-et emeljük ki a nevezőből":
Tehát itt:
- Végül a |z-1|>3 körgyűrűn
HF Fejtsük sorba a 0 körül az
függvényt!
Komplex egyenlet
2. a) Oldjuk meg az
egyenletet!
Mo.
mert a szöge 30 fok, a hossza 2. Ezért az egyenlet:
azaz
2. b) Oldjuk meg a
egyenletet!
Mo.
Harmonikus társkeresés
Reziduum és körintegrál
4. a)
b)
c)
Mo. a) Szingularitásai: , tehát a körön belül csak a z=0-ban szakad.
1. megoldás. Itt viszont megszüntethető a szakadás, mert a
miatt
azaz ez a függvény megtévesztésig hasonlít egy reguláris függvényre, azaz az integrálja a Cauchy-integráltétel miatt 0. Vagy reguláris a 1-k kívül és mivel ott megszüntethető a szingularitás, ezért nincs a Laurent-sorában főrész, azaz nincs -s tag. emiatt . Innen:
2. megoldás.