Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
8. sor: 8. sor:
 
A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak aminél minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
 
A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak aminél minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
  
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:
+
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az ''elemi sorekvivalens átalakítások'':
 
* Sorok felcserélése
 
* Sorok felcserélése
 
* Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
 
* Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
 
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
 
* Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
 
==Példa==
 
==Példa==

A lap 2008. február 1., 23:28-kori változata

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lepcsős alakra redukáljuk.

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot.

A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak aminél minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példa

Személyes eszközök