Gauss-elimináció

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Nyariz (vitalap | szerkesztései) 2008. február 6., 23:02-kor történt szerkesztése után volt.

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.

Tartalomjegyzék

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot. A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példák

1.

Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ 
-3x-y+2z&=&-11 \\
-2x+y+2z&=&-3 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}

2.

  1. x1 + 2x2 + 3x3 = 2
  2. x1 + x2 + x3 = 2
  3. 3x1 + 3x2 + x3 = 0

Az együtthatómátrix:

[1]

Az eljárás:

[2]
Személyes eszközök