Informatika1-2009/sagelinalgkovetelmeny

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
9. sor: 9. sor:
  
 
* sum, limit, function, diff, integral,
 
* sum, limit, function, diff, integral,
* Graph, add_vertices, add_edge, edges, vertices,  cliques_maximal, min_spanning_tree, adjacency_matrix
+
* Graph, add_vertex (egy csúcsos), add_vertices (több csúcsos változat), add_edge (egy éles), add_edges (több éles változat), edges, vertices,  cliques_maximal, min_spanning_tree, adjacency_matrix
  
  

A lap jelenlegi, 2009. december 3., 16:05-kori változata

  • vector, matrix, random_matrix, identity_matrix,
  • ZZ, IntegerRing, QQ, RationalField, RR, RealField, RDF, CC, ComplexField, CDF, GF(p),
  • echelon_form, solve_right, solve_left,
  • transpose, det (ugyanaz, mint a determinant), rank,
  • VectorSpace, dimension, basis, span, is_subspace, row_space, column_space, coordinates,
  • right_kernel, intersection, +
  • charpoly, eigenvalues, eigenvectors_right, eigenmatrix_right
  • jordan_block, block_sum, jordan_form
  • sum, limit, function, diff, integral,
  • Graph, add_vertex (egy csúcsos), add_vertices (több csúcsos változat), add_edge (egy éles), add_edges (több éles változat), edges, vertices, cliques_maximal, min_spanning_tree, adjacency_matrix


Kérdések:

1. Véletlen mátrix: Hozzunk létre egy 3x4-es racionális elemű véletlen mátrixot!

  • random_matrix(QQ,3,4)

2. Egyenletrendszer: Melyik egyenletrendszer megoldása az M\b vektor, ahol M mátrix, b vektor?

  • M*x=b

3. Dimenziótétel: Ha M egy 5x6-os mátrix, akkor mennyivel egyenlő M.right_kernel().dimension()+M.column_space().dimension()

  • 6

4. Rang és dimenzió: Ha M egy 5x6-os mátrix, és az M.rank() parancsra 3 a válasz, akkor az M.row_space().basis() parancsra hány vektor listáját kapjuk?

  • 3, hisz a sortér dimenziója 3, így bázisa 3 vektorból áll

5. Altér bázisára vonatkozó koordináták: Ha egy V vektortér esetén a V.basis() parancsra a

  [
  (1, 0, -1),
  (0, 1, 2)
  ]

választ kapjuk, akkor mi a kimenete a V.coordinates(vector([1,3,5])) parancsnak?

  • [1,3], mert a V a háromdimenziós tér egy kétdimenziós altere, ahol az első bázisvektor és a második háromszorosának összege egyenlő az (1,3,5) vektorral, tehát e bázisra vonatkozó koordinátái 1 és 3.

6. A Sage válasza egy vektorokból vagy mátrixból létrehozott altérről: Mit jelent a ,,Free module of degree 4 and rank 2 over Integer Ring" kifejezés, és milyen objektumra mondja ezt a sage?

  • A ZZ^4, vagyis az egészek gyűrűje feletti 4-dimenziós szabad modulus egy 2-rangú, azaz 2-dimenziós alterére. (A szabad modulus abban különbözik a vektortértől, hogy nem test, hanem gyűrű felett van definiálva. A kérdésbeli objektum az egészek gyűrűjéből képzett 4-dimenziós vektorokból áll.)

7. Mátrix diagonalizálása: Ha M egy nxn-es mátrix, akkor mi a kimenete a következő parancsoknak, ha P invertálható, azaz M-nek van n darab lineárisan független sajátvektora?

  D, P = M.eigenmatrix_right() 
  P*D*~P
  • Az M mátrixot kapjuk, ugyanis D a sajátértékek diagonális mátrixa, ami az M-hez tartozó lineáris leképezés mátrixa egy másik bázisban. Az erre való áttérés mátrixa épp a sajátvektorokból áll, tehát ez az áttérés mátrixa, azaz a P mátrix. Így D==P^(-1)*M*P, amiből M==P*D*P^(-1). Rövidebb jelöléssel: D==~P*M*P, amiből P*D*~P==M.

8. Jordan-féle normálalak: Egy mátrix sajátértékei 5 és 4, az elsőnek 2, a másodiknak 3 a multiplicitása. Mindkettőhöz egydimenziós altér tartozik. Konstruáljuk meg a Jordan-féle normálalakját!

  • jordan_block(5,2).block_sum(jordan_block(4,3))

9. Jordan-féle normálalak: Ha N egy négyzetes mátrix, akkor mi a kimenete a következő parancsoknak?

  J, P = N.jordan_form( transformation=True )
  ~P*N*P
  • A J mátrixot, azaz az N Jordan-féle normálalakját kapjuk, mert N==P*J*~P, amiből J==~P*N*P.

10. Sor összege: Melyik sage paranccsal és hogyan számolnánk ki az 1-től n-ig terjedő számok negyedik hatványainak összegét?

  • sum(k^4,k,1,n)

11. Deriválás: Írjuk fel az f(u(t),v(t)) függvény t-szerinti deriváltját!

12. Integrál: Számítsuk ki x^2*e^x határozatlan integrálját, és határozott integrálját az [1,e] intervallumon!

13. Gráfok Rajzoljuk fel a ,,három ház, három kút" gráfot!

Személyes eszközök