Informatika1-2009/sagelinalgkovetelmeny
- vector, matrix, random_matrix, identity_matrix,
- ZZ, IntegerRing, QQ, RationalField, RR, RealField, RDF, CC, ComplexField, CDF, GF(p),
- echelon_form, solve_right, solve_left,
- transpose, det (ugyanaz, mint a determinant), rank,
- VectorSpace, dimension, basis, span, is_subspace, row_space, column_space, coordinates,
- right_kernel, intersection, +
- charpoly, eigenvalues, eigenvectors_right, eigenmatrix_right
- jordan_block, block_sum, jordan_form
Kérdések:
1. Véletlen mátrix: Hozzunk létre egy 3x4-es racionális elemű véletlen mátrixot!
- random_matrix(QQ,3,4)
2. Egyenletrendszer: Melyik egyenletrendszer megoldása az M\b vektor, ahol M mátrix, b vektor?
- M*x=b
3. Dimenziótétel: Ha M egy 5x6-os mátrix, akkor mennyivel egyenlő M.right_kernel().dimension()+M.column_space().dimension()
- 6
4. Rang és dimenzió: Ha M egy 5x6-os mátrix, és az M.rank() parancsra 3 a válasz, akkor az M.row_space().basis() parancsra hány vektor listáját kapjuk?
- 3, hisz a sortér dimenziója 3, így bázisa 3 vektorból áll
5. Altér bázisára vonatkozó koordináták: Ha egy V vektortér esetén a V.basis() parancsra a
[ (1, 0, -1), (0, 1, 2) ]
választ kapjuk, akkor mi a kimenete a V.coordinates(vector([1,3,5])) parancsnak?
- [1,3], mert a V a háromdimenziós tér egy kétdimenziós altere, ahol az első bázisvektor és a második háromszorosának összege egyenlő az (1,3,5) vektorral, tehát e bázisra vonatkozó koordinátái 1 és 3.
6. A Sage válasza egy vektorokból vagy mátrixból létrehozott altérről: Mit jelent a ,,Free module of degree 4 and rank 2 over Integer Ring" kifejezés, és milyen objektumra mondja ezt a sage?
- A ZZ^4, vagyis az egészek gyűrűje feletti 4-dimenziós szabad modulus egy 2-rangú, azaz 2-dimenziós alterére. (A szabad modulus abban különbözik a vektortértől, hogy nem test, hanem gyűrű felett van definiálva. A kérdésbeli objektum az egészek gyűrűjéből képzett 4-dimenziós vektorokból áll.)
7. Mátrix diagonalizálása: Ha M egy nxn-es es mátrix, akkor mi a kimenete a következő parancsoknak, ha P invertálható, azaz M-nek van n darab lineárisan független sajátvektora?
D, P = M.eigenmatrix_right() P*D*~P
- Az M mátrixot kapjuk, ugyanis D a sajátértékek diagonális mátrixa, ami az M-hez tartozó lineáris leképezés mátrixa egy másik bázisban. Az erre való áttérés mátrixa épp a sajátvektorokból áll, tehát ez az áttérés mátrixa, azaz a P mátrix. Így D==P^(-1)*M*P, amiből M==P*D*P^(-1). Rövidebb jelöléssel: D==~P*M*P, amiből P*D*~P==M.
8. Jordan-féle normálalak: Egy mátrix sajátértékei 5 és 4, az elsőnek 2, a másodiknak 3 a multiplicitása. Mindkettőhöz egydimenziós altér tartozik. Konstruáljuk meg a Jordan-féle normálalakját!
- jordan_block(5,2).block_sum(jordan_block(4,3))
9. Jordan-féle normálalak: Ha N egy négyzetes mátrix, akkor mi a kimenete a következő parancsoknak?
J, P = N.jordan_form( transformation=True ) ~P*N*P
- A J mátrixot, azaz az N Jordan-féle normálalakját kapjuk, mert N==P*J*~P, amiből J==~P*N*P.