Mátrix
(The Matrix Reloaded) |
a (→Skalárral szorzás) |
||
62. sor: | 62. sor: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
− |
A lap 2007. január 20., 20:56-kori változata
A mátrixok általában egy algebrai struktúra, vagy akár tetszőleges halmaz elemeiből álló téglalap alakú táblázatok.Egy m sort és n oszlopot tartalmazó mátrixot m×n-es mátrixnak nevezünk, m és n a mátrix dimenziói. Az A mátrix 'i'-dik sorának és a 'j'-dik oszlopának metszéspontjában álló elem a mátrix (i,j)-dik eleme, jele Ai,j vagy A[i,j]. Minden elemnek először a sorindexét írjuk, ezt követi az oszlopindex. Az egy sorból vagy egy oszlopból álló mátrixokat oszlop- illetve sorvektoroknak nevezzük. Az ugyanannyi sorból mint oszlopból álló mátrixot négyzetes mátrixnak hívjuk, ez a típus kiemelt szerepet jászik a mátrikok között. A mátrixok tulajdonságainak vizsgálata a lineáris algebra tárgykörébe tartozik.
Példa egy számokból álló 4×3-as mátrixra:
Műveletek mátrixokkal
Legtöbbször a mátrix valamilyen R gyűrű elemeiből áll, ekkor ugyanis értelmezhetünk bizonyos mátrixok közötti algebrai műveleteket. Ezez műveletek eredményei tehát szintén mátrixok.
Összeadás
Ha A és B két R feletti azonos dimenziójú mátrix, azaz ugyanannyi soruk és oszlopuk van, akkor az összegük az az A+B mátrix, amelynek (i,j)-dik eleme A és B (i,j)-dik elemeinek összege, azaz (A + B)[i,j]=A[i,j] + B[i,j]. Ezzel a definícióval az m×n-es mátrixok Abel-csoportot alkotnak. Egy példa mátrixok összeadására:
Skalárral szorzás
Ha A egy m×n-es mátrix az R gyűrű felett és r a gyűrű egy eleme, akkor az rA szorzatot úgy kapjuk, hogy A minden elemét balról r-rel megszorozzuk. Jobbról való szorzás esetén az Ar szorzatot kapjuk. Kommutatív gyűrű esetén természetesen a két szorzat megegyezik. Példa egész számmal való szorzásra: