Mátrix

A MathWikiből

A mátrixok általában egy algebrai struktúra, vagy akár tetszőleges halmaz elemeiből álló téglalap alakú táblázatok.Egy m sort és n oszlopot tartalmazó mátrixot m×n-es mátrixnak nevezünk, m és n a mátrix dimenziói. Az A mátrix 'i'-dik sorának és a 'j'-dik oszlopának metszéspontjában álló elem a mátrix (i,j)-dik eleme, jele Ai,j vagy A[i,j]. Minden elemnek először a sorindexét írjuk, ezt követi az oszlopindex. Az egy sorból vagy egy oszlopból álló mátrixokat oszlop- illetve sorvektoroknak nevezzük. Az ugyanannyi sorból mint oszlopból álló mátrixot négyzetes mátrixnak hívjuk, ez a típus kiemelt szerepet jászik a mátrikok között. A mátrixok tulajdonságainak vizsgálata a lineáris algebra tárgykörébe tartozik.

Példa egy számokból álló 4×3-as mátrixra:

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&0&5\end{bmatrix}


Műveletek mátrixokkal

Legtöbbször a mátrix valamilyen R gyűrű elemeiből áll, ekkor ugyanis értelmezhetünk bizonyos mátrixok közötti algebrai műveleteket. Ezen műveletek eredményei tehát szintén mátrixok.

Összeadás

Ha A és B két R feletti azonos dimenziójú mátrix, azaz ugyanannyi soruk és oszlopuk van, akkor az összegük az az A+B mátrix, amelynek (i,j)-dik eleme A és B (i,j)-dik elemeinek összege, azaz (A + B)[i,j]=A[i,j] + B[i,j]. Ezzel a definícióval az m×n-es mátrixok Abel-csoportot alkotnak. Egy példa mátrixok összeadására:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}

Skalárral szorzás

Ha A egy m×n-es mátrix az R gyűrű felett és r a gyűrű egy eleme, akkor az rA szorzatot úgy kapjuk, hogy A minden elemét balról r-rel megszorozzuk. Jobbról való szorzás esetén az Ar szorzatot kapjuk. Kommutatív gyűrű esetén természetesen a két szorzat megegyezik. Példa egész számmal való szorzásra:

2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}
Személyes eszközök