Matematika A1a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényhatárérték=) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényhatárérték) |
||
35. sor: | 35. sor: | ||
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy | Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy | ||
:<math>|z|<\sqrt{\varepsilon}</math> | :<math>|z|<\sqrt{\varepsilon}</math> | ||
− | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := | + | amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |''z''| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség. |
− | 2. | + | 2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke: |
− | :<math> | + | :<math>x_n=\frac{1}{n}(-1)^n\,</math> |
− | + | Ekkor ''x''<sub>2n</sub> <math>\to</math> +∞ és ''x''<sub>2n+1</sub> <math>\to</math> -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz). | |
− | + | ||
− | + | ===Határérték és függvényműveletek=== | |
− | |||
'''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' valós függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u'' és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez: | '''Tétel''' – ''Végtelen határérték és alapműveletek'' – Ha az ''f'' és ''g'' valós függvényeknek létezik határértékük az <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> helyen, az ''f'' * ''g'' alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja ''u'' és a lim<sub>u</sub> ''f'' * lim<sub>u</sub> ''g'' alapművelet elvégezhető, akkor az ''f'' * ''g'' függvénynek is van határértéke ''u''-ban és ez: | ||
:<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math> | :<math> \lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,</math> |
A lap 2008. október 27., 17:53-kori változata
Néhány topologikus fogalom
Ha A ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az A
- torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ A, de nem torlódási pontja A-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.
Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.
Függvényhatárérték
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden x ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:
Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:
Tétel. Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja és . Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
- f-nek a v határértéke az u-ban,
- minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.
Ennek a segítségével egy rendkívül hatákony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk: Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke:
Ekkor x2n +∞ és x2n+1 -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz).
Határérték és függvényműveletek
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).