Matematika A1a 2008/8. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényhatárérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényhatárérték) |
||
17. sor: | 17. sor: | ||
:<math> | :<math> | ||
\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math> | \lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math> | ||
+ | ''' | ||
+ | Bal és jobboldali határérték''': | ||
+ | :<math> | ||
+ | \exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}\left.f|\right_{(u,+\infty)}=v</math> | ||
+ | |||
+ | :<math> | ||
+ | \exists\lim\limits_{u-}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}\left.f|\right_{(-\infty,u)}=v</math> | ||
Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv: | Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv: | ||
24. sor: | 31. sor: | ||
# minden az ''A''\{u}-ban haladó, az ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>n</sub>) sorozat esetén az (''f''(''x''<sub>n</sub>)) a ''v''-hez konvergál. | # minden az ''A''\{u}-ban haladó, az ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>n</sub>) sorozat esetén az (''f''(''x''<sub>n</sub>)) a ''v''-hez konvergál. | ||
− | Ennek a segítségével egy rendkívül | + | Ennek a segítségével egy rendkívül hatékony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk: |
'''Állítás.''' ''f''-nek pontosan akkor nincs határértéke ''u''-ban, ha van olyan ''A''\{u}-ban haladó, az ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>n</sub>) sorozat, mely esetén az az (''f''(''x''<sub>n</sub>)) nem tart egyetlen elemhez sem. | '''Állítás.''' ''f''-nek pontosan akkor nincs határértéke ''u''-ban, ha van olyan ''A''\{u}-ban haladó, az ''u''-hoz konvergáló (''x''<sub>n</sub>) sorozat, mely esetén az az (''f''(''x''<sub>n</sub>)) nem tart egyetlen elemhez sem. | ||
30. sor: | 37. sor: | ||
'''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy | '''Feladat.''' Igazoljuk definíció szerint, hogy | ||
#<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z^2}=+\infty</math> | #<math>\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z^2}=+\infty</math> | ||
− | #<math>\not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}</math> | + | #<math>\not\exists\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}</math> de létezik mindkét egyoldali határértéke. |
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz: | 1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |''z''| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz: |
A lap 2008. október 27., 18:01-kori változata
Néhány topologikus fogalom
Ha A ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az A
- torlódási pontjának nevezzük, ha minden r > 0 esetén Br(u)\{u} ∩ A nem üres (vagy ekvivalens módon: végtelen)
- izolált pontjának nevezzük, ha u ∈ A, de nem torlódási pontja A-nak.
- belső pontjának nevezzük, ha van olyan környzete, mely benne van A-ban.
Emellett U nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont és zárt, ha komplementere nyílt.
Függvényhatárérték
Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a elem határértéke az u-ban, ha
- minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden x ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)
ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.
Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:
Bal és jobboldali határérték:
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): \exists\lim\limits_{u+}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}\left.f|\right_{(u,+\infty)}=v
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): \exists\lim\limits_{u-}f=v\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad \exists\lim\limits_{u}\left.f|\right_{(-\infty,u)}=v
Ugyanúgy, ahogy a folytonosság esetén itt is van átviteli elv:
Tétel. Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen az A torlódási pontja és . Ekkor az alábbiak ekvivalensek:
- f-nek a v határértéke az u-ban,
- minden az A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén az (f(xn)) a v-hez konvergál.
Ennek a segítségével egy rendkívül hatékony eszközt kapunk arra, hogy a határérték nemlétezését igazoljuk:
Állítás. f-nek pontosan akkor nincs határértéke u-ban, ha van olyan A\{u}-ban haladó, az u-hoz konvergáló (xn) sorozat, mely esetén az az (f(xn)) nem tart egyetlen elemhez sem.
Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy
- de létezik mindkét egyoldali határértéke.
1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a +∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:
Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy
amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát δ := négyzetgyök ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.
2. Megadunk egy nullsorozatot, mely függvényértékeinek sorozatának semmiképpen nincs határértéke:
Ekkor x2n +∞ és x2n+1 -∞, holott ezeknek egyenlőknek kellene lenniők (ha létezik határérték, akkor minden részsorozat határértéke ugyanaz).
Határérték és függvényműveletek
Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g valós függvényeknek létezik határértékük az helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a limu f * limu g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:
Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).
Feladat. Hol van határértéke az
függvénynek.