Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Példák) |
||
10. sor: | 10. sor: | ||
:1) '''R'''<sup>m</sup>-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz, | :1) '''R'''<sup>m</sup>-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz, | ||
:2) '''R'''<sup>m</sup>-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek. | :2) '''R'''<sup>m</sup>-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek. | ||
− | Tehát a határérték a <math>\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}</math> | + | Tehát a határérték a <math>\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}</math> mert itt ''konstans + (nullához tartó <math>\cdot</math> korlátos)'' alakú komponenssorozatok szerepelnek. |
==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ==Bolzano-Weierstrass-tételkör== |
A lap 2008. február 17., 17:23-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Példák
1. R2-ben.
Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:
- 1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
- 2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
Tehát a határérték a mert itt konstans + (nullához tartó korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.
Bolzano-Weierstrass-tételkör
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.
Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.
Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Ha még azt a tényt is hozzávesszük, hogy egy H halmaz pontosan akkor zárt, ha minden benne haladó konvergens sorozatnak a határértéke is benne van, akkor világos, hogy mi a kapcsolat a két utóbbi tétel között.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában
Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.
- 1. feladat: Igazoljuk, hogy az
leképezés folytonos a 0 pontban.