Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorozatok konvergenciája normált térben) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
− | ==Sorozatok konvergenciája normált térben== | + | ==Sorozatok konvergenciája normált térben== |
+ | Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' ∈ ''E'' pont, ha | ||
+ | :<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math> | ||
+ | ===Példák=== | ||
+ | '''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. | ||
+ | :<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math> | ||
==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ==Bolzano-Weierstrass-tételkör== |
A lap 2008. február 17., 17:13-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Példák
1. R2-ben.
Bolzano-Weierstrass-tételkör
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.
Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.
Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Ha még azt a tényt is hozzávesszük, hogy egy H halmaz pontosan akkor zárt, ha minden benne haladó konvergens sorozatnak a határértéke is benne van, akkor világos, hogy mi a kapcsolat a két utóbbi tétel között.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában
Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.
- 1. feladat: Igazoljuk, hogy az
leképezés folytonos a 0 pontban.