Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Pontbeli deriváltak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Pontbeli deriváltak) |
||
13. sor: | 13. sor: | ||
:<math>\frac{\partial \sin(\mathrm{sh}(x)y^2)}{\partial x}=\cos(\mathrm{sh}(x)y^2)\cdot \mathrm{ch}(x)y^2</math> | :<math>\frac{\partial \sin(\mathrm{sh}(x)y^2)}{\partial x}=\cos(\mathrm{sh}(x)y^2)\cdot \mathrm{ch}(x)y^2</math> | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math> | ||
+ | a (0,0)-ban? | ||
'''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az | '''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az | ||
:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | ||
− | 0,\mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | + | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ |
− | (x^2+y)\sin\frac{1}{|x|+|y|},\mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | + | (x^2+y)\sin\frac{1}{|x|+|y|},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) |
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
a (0,0)-ban? | a (0,0)-ban? | ||
+ | |||
+ | ==Magasabbrendű parciális deriváltak== | ||
+ | Ha ''f'' parciálisan deriválható, akkor ∂<sub>1</sub>''f'' és ∂<sub>2</sub>''f'' szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=x^2y^4+x^5-y^3\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_xf(x,y)=xy^4+5x^4</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(x,y)=x^24y^3-3y^2</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_x(\partial_xf)(x,y)=y^4+20x^3</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_yf)(x,y)=12x^2y^2-6y^2</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_xf)(x,y)=x4y^3</math> | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_yf)(x,y)=4xy^3</math> | ||
+ | |||
+ | És valóban: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az ''u'' egy környezetében és folytonosak az ''u'' pontban, akkor az ''u''-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek: | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_y f)(u)=\partial_y(\partial_x f)(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus: | ||
+ | :<math>H^f(u)=\begin{bmatrix} | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\ | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2} | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Az a kitétel, hogy az ''u''-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | ||
+ | \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. | ||
+ | |||
+ | Tekintsük a parciláis deriváltakat: | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_yf)(x,0)-(\partial_yf)(0,0)}{x}</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_xf)(0,y)-(\partial_xf)(0,0)}{x}</math> | ||
+ | Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő értékekekt: | ||
+ | :<math>\partial_xf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(t,y)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }y=0\\ | ||
+ | -y,& \mbox{ ha }y\ne 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,t)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }y=0\\ | ||
+ | x,& \mbox{ ha }y\ne 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
==Többváltozós függvény szélsőértéke== | ==Többváltozós függvény szélsőértéke== |
A lap 2009. március 12., 22:37-kori változata
Tartalomjegyzék |
Parciális deriváltak
Pontbeli deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Magasabbrendű parciális deriváltak
Ha f parciálisan deriválható, akkor ∂1f és ∂2f szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például:
És valóban:
Tétel. (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az u egy környezetében és folytonosak az u pontban, akkor az u-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek:
Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus:
Feladat. Az a kitétel, hogy az u-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen
Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált.
Tekintsük a parciláis deriváltakat:
Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő értékekekt:
Többváltozós függvény szélsőértéke
Szélsőérték szükséges feltétele
Tétel - Fermat-tétel - Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f), f differenciálható u-ban.
- Ha u-ban f-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
U.is: minden i-re az i-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ui-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ui-ben 0, így a gradiens értéke 0.
Példa
Ennek gradiense:
Az
egyenletrendszer megoldásai: x = 0, y tetszőleges ill. y = 0 és x tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot 5*x*x*y*y
Másodikderivált próba
Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad f(u) = 0 és Hf(u) az f Hesse-mátrixa
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) < 0, akkor f-nek u-ban maximuma van
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) > 0, akkor f-nek u-ban minimuma van
- ha det Hf(u) < 0, akkor f-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. nyeregpontja van
- ha det Hf(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy u szélsőérték hely-e.
Megjegyzések. Mivel kétváltozós esetben
ezért olyan eset nem létezik, hogy det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) = 0.
Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).
Ha tehát
- , akkor ,
és így a tipikus példák a következők.
Példák
1. Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.
Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x+x*y+y*y
2. Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.
Ekkor grad f = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és
azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x -3*x*y+y*y
3. Negatív A és C-re és kis B-re:
Ekkor grad f = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot -x*x +x*y-y*y
4. Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.
Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ) és
azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x +x*y-y*y
5. Atipikus eset, ha AC = B2. Ekkor nem jár sikerrel a próba:
Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és
azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. De tudjuk, hogy
ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot (x+y)*(x+y)
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |