Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Parciális deriváltak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | |||
+ | ==Folytonosság és totális differenciálhatóság== | ||
+ | Tekintsük az | ||
+ | :<math>g(x,y)=\left\{\begin{matrix}\begin{pmatrix}\frac{xy}{x^2+y^2}\\ x+y\end{pmatrix}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>J^g(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ | ||
+ | 1 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot(t,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},2t)-(0,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(\frac{1}{\sqrt{2}2|t|},\frac{t}{\sqrt{2}|t|})</math> | ||
+ | ami nem létezik. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re: | ||
+ | :<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> | ||
+ | amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | ==Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság== | ||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^f(0,0)=[0, 0]\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ha tehát differenciálható, akkor az '''iránymenti derivált'''ak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor): | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_ef(u)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\mathrm{J}^f(0,0)\cdot e=e\cdot\mathrm{grad}\,f(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Ám, polárkoordinátákra áttérve: | ||
+ | :<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math> | ||
+ | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | ||
+ | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | ||
+ | ami nem differenciálható a 0-ban. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható: | ||
+ | |||
+ | ==Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja== | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | |||
+ | f diffható ''r''<sub>0</sub>-ban, ha létezik ''m'' vektor, hogy | ||
+ | :<math>\lim\limits_{r\to r_0}\frac{f(r)-f(r_0)-m\cdot(r-r_0)}{|r-r_0|}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor az m a '''gradiensvektor''', melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,f(r_0)=[\partial_1f(r_0),...,\partial_nf(r_0)]</math> | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | :<math>\exists\,f'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\,</math> | ||
+ | és ekkor f'(<math>t_0</math>) a <math>t_0</math>-beli '''deriváltvektor''' (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor). | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a differenciált '''deriválttenzor'''nak is nevezik. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | |||
+ | Mi az | ||
+ | :<math>f(r)=r^2\,</math>, | ||
+ | skalárfüggvény gradiense? | ||
+ | |||
+ | Válasszuk le a lineáris részét! | ||
+ | |||
+ | :<math>r^2-r_0^2=(r-r_0)(r+r_0)=(r-r_0)(2r_0+r-r_0)=2r_0\cdot(r-r_0)+(r-r_0)^2\,</math> | ||
+ | Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,r^2=2r\,</math> | ||
+ | |||
+ | ==Lineáris és affin függvény deriváltja== | ||
+ | '''Tétel.''' Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis, '' legyen ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Az azonosan '''c''' konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' ∈ ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra | ||
+ | :<math>\lambda.f\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és | ||
+ | :<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math> | ||
+ | ''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a | ||
+ | :<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math> | ||
+ | :<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math> | ||
+ | választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait. | ||
+ | |||
+ | '''Következmény.''' Tehát minden ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>-re az '''affin''' c+''A'' diffható és | ||
+ | :<math>\mathrm{d}(c+\mathcal{A})(u)=\mathcal{A}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Példa=== | ||
+ | |||
+ | Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független | ||
+ | :<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math> | ||
+ | és Jacobi-mátrixa a konstans | ||
+ | :<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math> | ||
+ | mátrix. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a | ||
+ | :<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math> | ||
+ | koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa: | ||
+ | :<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math> | ||
+ | ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként | ||
+ | :<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math> | ||
+ | ahol | ||
+ | :<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | azaz a Kronecker-féle δ szimbólum. | ||
+ | |||
==Szélsőérték szükséges feltétele== | ==Szélsőérték szükséges feltétele== |
A lap 2013. október 7., 20:50-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és totális differenciálhatóság
Tekintsük az
Ekkor
Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
ami nem létezik.
Megjegyzés. Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is:
Tétel. Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:
amely tagjai mind folytonosak u-ban.
Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság
Példa.
Ekkor
Ha tehát differenciálható, akkor az iránymenti deriváltak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Megjegyzés. Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja
Ha f:Rn R, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
f diffható r0-ban, ha létezik m vektor, hogy
Ekkor az m a gradiensvektor, melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
Ha f:R Rn, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
és ekkor f'(t0) a t0-beli deriváltvektor (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
Ha f:Rn Rn, akkor a differenciált deriválttenzornak is nevezik.
Példa.
Mi az
- ,
skalárfüggvény gradiense?
Válasszuk le a lineáris részét!
Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
Lineáris és affin függvény deriváltja
Tétel. Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga:
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
Tétel. Az azonosan c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
Tétel. Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Következmény. Tehát minden u ∈ Rn-re az affin c+A diffható és
Példa
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
Szélsőérték szükséges feltétele
Egyelőre állapodjunk meg abban, hogy gradiensnek nevezzük a következő többváltozós vektorértékű függvényt: ha f: Rn R parciálisan differenciálható, akkor
mely lényegében az f elsőrendű parciális deriváltjaiból képezett vektor.
Később a gradienst egy kissé másképp fogjuk értelmezni és amit most definiáltunk, az a gradiens sztenderd bázisbeli mátrixa lesz (adott pontra vonatkozóan).
Tétel - Fermat-tétel - Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f), f parciálisan differenciálható u-ban.
- Ha u-ban f-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
U.is: minden i-re az i-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ui-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ui-ben 0, így a gradiens értéke 0.
Példa
Ennek gradiense:
Az
egyenletrendszer megoldásai: x = 0, y tetszőleges ill. y = 0 és x tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot 5*x*x*y*y
Magasabbrendű parciális deriváltak
Ha f parciálisan deriválható, akkor ∂1f és ∂2f szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például:
És valóban:
Tétel. (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az u egy környezetében és folytonosak az u pontban, akkor az u-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek:
Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus:
Feladat. Az a kitétel, hogy az u-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen
Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált.
Tekintsük a parciális deriváltakat:
Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő föggvényeket: y (∂xf)(0,y), x (∂yf)(x,0). Ehhez a parciális deriváltak:
Megjegyezzük, hogy a g=(∂xf,∂yf) függvény (0,0)-beli parciális deriváltjai nem lehetnek folytonosak, mert ott a függvény nem totálisan diffható. Ugyanis a g Jacobi-mátrixa:
ami a 90˚-os forgatás. Ekkor a g-t a (t,0) vektorral közelítve a 0-ba:
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Többváltozós függvény szélsőértéke
Másodikderivált próba
Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad f(u) = 0 és Hf(u) az f Hesse-mátrixa
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) < 0, akkor f-nek u-ban maximuma van
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) > 0, akkor f-nek u-ban minimuma van
- ha det Hf(u) < 0, akkor f-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. nyeregpontja van
- ha det Hf(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy u szélsőérték hely-e.
Megjegyzések. Mivel kétváltozós esetben
ezért olyan eset nem létezik, hogy det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) = 0.
Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).
Ha tehát
- , akkor ,
és így a tipikus példák a következők.
Példák
1. Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.
Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x+x*y+y*y
2. Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.
Ekkor grad f = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és
azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x -3*x*y+y*y
3. Negatív A és C-re és kis B-re:
Ekkor grad f = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot -x*x +x*y-y*y
4. Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.
Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ) és
azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x +x*y-y*y
5. Atipikus eset, ha AC = B2. Ekkor nem jár sikerrel a próba:
Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és
azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. De tudjuk, hogy
ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot (x+y)*(x+y)
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |