Matematika A2a 2008/6. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | ==Folytonosság és totális differenciálhatóság== | ||
+ | Tekintsük az | ||
+ | :<math>g(x,y)=\left\{\begin{matrix}\begin{pmatrix}\frac{xy}{x^2+y^2}\\ x+y\end{pmatrix}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | \begin{pmatrix}0\\ 0\end{pmatrix}&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>J^g(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\ | ||
+ | 1 & 1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot(t,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},2t)-(0,t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\frac{1}{2},t)}{\sqrt{2}|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(\frac{1}{\sqrt{2}2|t|},\frac{t}{\sqrt{2}|t|})</math> | ||
+ | ami nem létezik. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f'' differenciálható ''u''-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden ''x''-re: | ||
+ | :<math>f(x)=f(u)+(\mathrm{d}f(u))(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math> | ||
+ | amely tagjai mind folytonosak ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | ==Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság== | ||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>\mathrm{J}^f(0,0)=[0, 0]\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ha tehát differenciálható, akkor az '''iránymenti derivált'''ak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor): | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_ef(u)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\mathrm{J}^f(0,0)\cdot e=e\cdot\mathrm{grad}\,f(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Ám, polárkoordinátákra áttérve: | ||
+ | :<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math> | ||
+ | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | ||
+ | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | ||
+ | ami nem differenciálható a 0-ban. | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható: | ||
+ | ==Folytonos parciális differenciálhatóság== | ||
+ | |||
+ | Megfordításról a következő esetben beszélhetünk. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az ''u'' egy környezetében és ''u''-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor ''u''-ban ''f'' differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.) | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (<math>x_1</math>,<math>x_2</math>), v=(<math>u_1</math>,<math>x_2</math>), u=(<math>u_1</math>,<math>u_2</math>) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂<sub>1</sub>f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(<math>x_1</math>)∈[<math>x_1</math>,<math>u_1</math>] szám, és a [v,u] szakaszon ∂<sub>2</sub>f-hez ζ(<math>x_2</math>)∈[<math>x_2</math>,<math>u_2</math>] szám, hogy | ||
+ | :<math>f(x)-f(u)=f(x)-f(v)+f(v)-f(u)=\,</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)(x_1-u_1)+\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))(x_2-u_2)=</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1f(u)(x_1-u_1)+\partial_2f(u)(x_2-u_2)+</math> | ||
+ | :<math>+(\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u))(x_1-u_1)+(\partial_2 f(u_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u))(x_2-u_2)</math> | ||
+ | itt az | ||
+ | :<math>\varepsilon_1(x)=\partial_1 f(\xi(x_1),x_2)-\partial_1f(u)</math> és <math>\varepsilon_2(x)=\partial_2 f(x_1,\zeta(x_2))-\partial_2f(u)</math> | ||
+ | függvények folytonosak ''u''-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az ''u''-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható ''u''-ban. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az ''u'' egy környzetében, de az ''u''-ban nem folytonosak. | ||
+ | ====Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény==== | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | parciális deriváltfüggvényei léteznek: | ||
+ | :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}</math> | ||
+ | a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0. | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | ||
+ | \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy | ||
+ | |||
+ | :<math>J^g(0,0)=H^f(0,0)=\begin{bmatrix} | ||
+ | 0 & -1\\ | ||
+ | 1 & 0 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | ami a 90˚-os forgatás. | ||
+ | |||
+ | Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban: | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_1f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,x)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x((x+t)^2-x^2)}{t((x+t)^2+x^2)}=</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2tx+t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2x+t)}{2x^2+2tx+t^2}=\lim\limits_{t\to 0}=x</math> | ||
+ | :<math>\partial_2f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,x+t)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(x^2-(x+t)^2)}{t(x^2+(x+t)^2)}=</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(-2tx-t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=-x</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(t,-t)-(-t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(2t,-2t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(2\mathrm{sgn}(t),-2\mathrm{sgn}(t))\ne (0,0)\,</math> | ||
+ | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | ||
+ | |||
+ | ====Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható==== | ||
+ | A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek. | ||
+ | |||
+ | Az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2)\sin\cfrac{1}{x^2+y^2}, & \mbox{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\\\ | ||
+ | 0, & \mbox{ha} & (x,y) =(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | differenciálható, hiszen ez az | ||
+ | :<math>f(\mathbf{r})=\left\{\begin{matrix} \mathbf{r}^2\cdot\sin(|\mathbf{r}|^{-2}) & \mbox{ha} & \mathbf{r}\ne \mathbf{0}\\\\ | ||
+ | \mathbf{0}, & \mbox{ha} & \mathbf{r}= \mathbf{0}\end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | függvény és '''r''' ≠ '''0'''-ban: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}(f)=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2+\mathbf{r}^2.\mathrm{grad}\,\sin(|\mathbf{r}|^{-2})=</math> | ||
+ | :<math>=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).2\mathbf{r}+\mathbf{r}^2\cdot\cos(|\mathbf{r}|^{-2})\cdot(-2)|\mathbf{r}|^{-3}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math> | ||
+ | és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak. | ||
+ | |||
+ | ==Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja== | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | |||
+ | f diffható ''r''<sub>0</sub>-ban, ha létezik ''m'' vektor, hogy | ||
+ | :<math>\lim\limits_{r\to r_0}\frac{f(r)-f(r_0)-m\cdot(r-r_0)}{|r-r_0|}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor az m a '''gradiensvektor''', melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,f(r_0)=[\partial_1f(r_0),...,\partial_nf(r_0)]</math> | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani: | ||
+ | :<math>\exists\,f'(t_0)=\lim\limits_{t\to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}\,</math> | ||
+ | és ekkor f'(<math>t_0</math>) a <math>t_0</math>-beli '''deriváltvektor''' (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor). | ||
+ | |||
+ | Ha f:'''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R'''<sup>n</sup>, akkor a differenciált '''deriválttenzor'''nak is nevezik. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | |||
+ | Mi az | ||
+ | :<math>f(r)=r^2\,</math>, | ||
+ | skalárfüggvény gradiense? | ||
+ | |||
+ | Válasszuk le a lineáris részét! | ||
+ | |||
+ | :<math>r^2-r_0^2=(r-r_0)(r+r_0)=(r-r_0)(2r_0+r-r_0)=2r_0\cdot(r-r_0)+(r-r_0)^2\,</math> | ||
+ | Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,r^2=2r\,</math> | ||
+ | |||
+ | ==Lineáris és affin függvény deriváltja== | ||
+ | '''Tétel.''' Az ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}\mathcal{A}(u)=\mathcal{A}\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis, '' legyen ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>. Ekkor | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{\mathcal{A}(x)-\mathcal{A}(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Az azonosan '''c''' konstans függény esetén az d''c''(''u'') <math>\equiv</math> 0 alkalmas differenciálnak, mert | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{c-c-0\cdot(x-u)}{||x-u||}=\lim\limits_{x\to u}0=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha ''f'' és ''g'' a ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> halmazon értelmezett '''R'''<sup>m</sup>-be képező, az ''u'' ∈ ''H''-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra | ||
+ | :<math>\lambda.f\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=\lambda.\mathrm{d}f(u)\,</math> és | ||
+ | :<math>f+g\,</math> is differenciálható ''u''-ban és <math>\mathrm{d}(f+g)(u)=\mathrm{d}f(u)+\mathrm{d}g(u)\,</math> | ||
+ | ''Ugyanis,'' a mondott differenciálokkal és a | ||
+ | :<math>\varepsilon_{\lambda.f}=\lambda.\varepsilon_{f}\,</math> | ||
+ | :<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math> | ||
+ | választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait. | ||
+ | |||
+ | '''Következmény.''' Tehát minden ''u'' ∈ '''R'''<sup>n</sup>-re az '''affin''' c+''A'' diffható és | ||
+ | :<math>\mathrm{d}(c+\mathcal{A})(u)=\mathcal{A}</math> | ||
+ | |||
+ | ===Példa=== | ||
+ | |||
+ | Az ''A'': '''x''' <math>\mapsto</math> 2<math>x_1</math> + 3<math>x_2</math> - 4<math>x_3</math> lineáris leképezés differenciálja az '''u''' pontban az '''u'''-tól független | ||
+ | :<math>(\mathrm{d}\mathcal{A}(\mathbf{u}))(x_1,x_2,x_3)=2x_1+3x_2-4x_3\,</math> | ||
+ | és Jacobi-mátrixa a konstans | ||
+ | :<math>\mathbf{J}^\mathcal{A}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}2 & 3 & -4\end{bmatrix}</math> | ||
+ | mátrix. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a | ||
+ | :<math>\mathrm{pr}_i:(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)\mapsto x_i</math> | ||
+ | koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden '''u''' pontban saját maga és ennek mátrixa: | ||
+ | :<math>[\mathrm{grad}\,\mathrm{pr_i}]=\mathbf{J}^{\mathrm{pr}_i}(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}0 & 0 & ... & 1 & ...& 0\end{bmatrix}</math> | ||
+ | ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként | ||
+ | :<math>\partial_kx_i=\delta_{ki}</math> | ||
+ | ahol | ||
+ | :<math>\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha }i=j\\0, \mbox{ ha }i\ne j \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | azaz a Kronecker-féle δ szimbólum. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Szélsőérték szükséges feltétele== | ||
+ | |||
+ | Egyelőre állapodjunk meg abban, hogy gradiensnek nevezzük a következő többváltozós vektorértékű függvényt: ha ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''' parciálisan differenciálható, akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,f(x)=(\partial_1f(x),...,\partial_nf(x))</math> | ||
+ | mely lényegében az ''f'' elsőrendű parciális deriváltjaiból képezett vektor. | ||
+ | |||
+ | Később a gradienst egy kissé másképp fogjuk értelmezni és amit most definiáltunk, az a gradiens sztenderd bázisbeli mátrixa lesz (adott pontra vonatkozóan). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Tétel''' - ''Fermat-tétel'' - Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' ∈ int Dom(''f''), ''f'' parciálisan differenciálható ''u''-ban. | ||
+ | :Ha ''u''-ban ''f''-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor | ||
+ | ::<math>\mathrm{grad}\,f(u)=0_{\mathbf{R}^n}\,</math> | ||
+ | ''U.is:'' minden ''i''-re az ''i''-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ''u''<sub>i</sub>-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ''u''<sub>i</sub>-ben 0, így a gradiens értéke 0. | ||
+ | |||
+ | ====Példa==== | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^2y^2\,</math> | ||
+ | Ennek gradiense: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,f(x,y)=(2xy^2,2yx^2)</math> | ||
+ | Az | ||
+ | :<math>\left. | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \mathrm{I.} & 2xy^2 & = & 0\\ | ||
+ | \mathrm{II.} & 2yx^2 & = & 0\\ | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | \right\}</math> | ||
+ | egyenletrendszer megoldásai: ''x'' = 0, ''y'' tetszőleges ill. ''y'' = 0 és ''x'' tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke. | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot 5*x*x*y*y | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | |||
+ | ==Magasabbrendű parciális deriváltak== | ||
+ | Ha ''f'' parciálisan deriválható, akkor ∂<sub>1</sub>''f'' és ∂<sub>2</sub>''f'' szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=x^2y^4+x^5-y^3\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_xf(x,y)=xy^4+5x^4</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(x,y)=x^24y^3-3y^2</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_x(\partial_xf)(x,y)=y^4+20x^3</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_yf)(x,y)=12x^2y^2-6y^2</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_xf)(x,y)=x4y^3</math> | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_yf)(x,y)=4xy^3</math> | ||
+ | |||
+ | És valóban: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az ''u'' egy környezetében és folytonosak az ''u'' pontban, akkor az ''u''-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek: | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_y f)(u)=\partial_y(\partial_x f)(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus: | ||
+ | :<math>H^f(u)=\begin{bmatrix} | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\ | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2} | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Az a kitétel, hogy az ''u''-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | ||
+ | \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. | ||
+ | |||
+ | Tekintsük a parciális deriváltakat: | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_yf)(x,0)-(\partial_yf)(0,0)}{x}</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_xf)(0,y)-(\partial_xf)(0,0)}{y}</math> | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_xf)(x,0)-(\partial_xf)(0,0)}{x}</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_yf)(0,y)-(\partial_yf)(0,0)}{y}</math> | ||
+ | Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő föggvényeket: y <math>\mapsto</math> (∂<sub>x</sub>f)(0,y), x <math>\mapsto</math> (∂<sub>y</sub>f)(x,0). Ehhez a parciális deriváltak: | ||
+ | :<math>\partial_xf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(t,y)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }y=0\\ | ||
+ | -y,& \mbox{ ha }y\ne 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,t)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }x=0\\ | ||
+ | x,& \mbox{ ha }x\ne 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(0,y+t)-f(0,0)}{t}=0</math> | ||
+ | :<math>\partial_xf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,0)-f(0,0)}{t}=0</math> | ||
+ | |||
+ | Megjegyezzük, hogy a g=(∂<sub>x</sub>f,∂<sub>y</sub>f) függvény (0,0)-beli parciális deriváltjai nem lehetnek folytonosak, mert ott a függvény nem totálisan diffható. Ugyanis a g Jacobi-mátrixa: | ||
+ | :<math>J^g(0,0)=H^f(0,0)=\begin{bmatrix} | ||
+ | 0 & -1\\ | ||
+ | 1 & 0 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | ami a 90˚-os forgatás. Ekkor a g-t a (t,0) vektorral közelítve a 0-ba: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,0)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,0)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(0,-t)}{|t|}\ne (0,0)\,</math> | ||
+ | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | ||
+ | |||
+ | ==Többváltozós függvény szélsőértéke== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Másodikderivált próba=== | ||
+ | Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad ''f''(u) = 0 és H<sup>f</sup>(u) az ''f'' Hesse-mátrixa | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') < 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''maximuma''' van | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') > 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''minimuma''' van | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) < 0, akkor ''f''-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. '''nyeregpont'''ja van | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy ''u'' szélsőérték hely-e. | ||
+ | |||
+ | ''Megjegyzések.'' Mivel kétváltozós esetben | ||
+ | :<math>\mathrm{det}\,\mathrm{H}^f(u)=\partial_{11}f(u)\cdot \partial_{22}f(u)-(\partial_{12}f(u))^2</math> | ||
+ | ezért olyan eset nem létezik, hogy det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') = 0. | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul). | ||
+ | |||
+ | Ha tehát | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix} | ||
+ | A & B \\ | ||
+ | B & C | ||
+ | \end{pmatrix}</math>, akkor <math>\mathrm{det\,H}^{f}(u)=AC - B^2 </math>, | ||
+ | és így a tipikus példák a következők. | ||
+ | |||
+ | ====Példák==== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat. | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^2+xy+y^2\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , 2y + x ) és | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & 1 \\ | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum. | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot x*x+x*y+y*y | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába. | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^2-3xy+y^2\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & -3 \\ | ||
+ | -3 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont. | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot x*x -3*x*y+y*y | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Negatív A és C-re és kis B-re: | ||
+ | :<math>f(x,y)=-x^2+xy-y^2\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor grad ''f'' = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | -2 & 1 \\ | ||
+ | 1 & -2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum. | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot -x*x +x*y-y*y | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é. | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^2+xy-y^2\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , -2y + x ) és | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & 1 \\ | ||
+ | 1 & -2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont. | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot x*x +x*y-y*y | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Atipikus eset, ha AC = B<sup>2</sup>. Ekkor nem jár sikerrel a próba: | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & 2 \\ | ||
+ | 2 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. | ||
+ | De tudjuk, hogy | ||
+ | :<math>f(x,y)=(x+y)^2\,</math> | ||
+ | ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték. | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot (x+y)*(x+y) | ||
+ | </gnuplot> | ||
A lap 2013. október 21., 11:44-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Folytonosság és totális differenciálhatóság
Tekintsük az
Ekkor
Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
ami nem létezik.
Megjegyzés. Itt persze g nem folytonos, és itt is igaz az, hogy ha totálisan differenciálható egy függvény, akkor folytonos is:
Tétel. Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:
amely tagjai mind folytonosak u-ban.
Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság
Példa.
Ekkor
Ha tehát differenciálható, akkor az iránymenti deriváltak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Megjegyzés. Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény
parciális deriváltfüggvényei léteznek:
a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy
ami a 90˚-os forgatás.
Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban:
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja
Ha f:Rn R, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
f diffható r0-ban, ha létezik m vektor, hogy
Ekkor az m a gradiensvektor, melynek sztenderd bázisbeli koordinátamátrixa a Jacobi mátrix:
Ha f:R Rn, akkor a definíciót még így is ki szokás mondani:
és ekkor f'(t0) a t0-beli deriváltvektor (ha t az idő és r=f(t) a hely, akkor ez a sebeségvektor).
Ha f:Rn Rn, akkor a differenciált deriválttenzornak is nevezik.
Példa.
Mi az
- ,
skalárfüggvény gradiense?
Válasszuk le a lineáris részét!
Itt az első tag a lineáris, a második a magasabbfokú. Tehát:
Lineáris és affin függvény deriváltja
Tétel. Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga:
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
Tétel. Az azonosan c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
Tétel. Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Következmény. Tehát minden u ∈ Rn-re az affin c+A diffható és
Példa
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
Szélsőérték szükséges feltétele
Egyelőre állapodjunk meg abban, hogy gradiensnek nevezzük a következő többváltozós vektorértékű függvényt: ha f: Rn R parciálisan differenciálható, akkor
mely lényegében az f elsőrendű parciális deriváltjaiból képezett vektor.
Később a gradienst egy kissé másképp fogjuk értelmezni és amit most definiáltunk, az a gradiens sztenderd bázisbeli mátrixa lesz (adott pontra vonatkozóan).
Tétel - Fermat-tétel - Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f), f parciálisan differenciálható u-ban.
- Ha u-ban f-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
U.is: minden i-re az i-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ui-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ui-ben 0, így a gradiens értéke 0.
Példa
Ennek gradiense:
Az
egyenletrendszer megoldásai: x = 0, y tetszőleges ill. y = 0 és x tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot 5*x*x*y*y
Magasabbrendű parciális deriváltak
Ha f parciálisan deriválható, akkor ∂1f és ∂2f szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például:
És valóban:
Tétel. (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az u egy környezetében és folytonosak az u pontban, akkor az u-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek:
Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus:
Feladat. Az a kitétel, hogy az u-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen
Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált.
Tekintsük a parciális deriváltakat:
Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő föggvényeket: y (∂xf)(0,y), x (∂yf)(x,0). Ehhez a parciális deriváltak:
Megjegyezzük, hogy a g=(∂xf,∂yf) függvény (0,0)-beli parciális deriváltjai nem lehetnek folytonosak, mert ott a függvény nem totálisan diffható. Ugyanis a g Jacobi-mátrixa:
ami a 90˚-os forgatás. Ekkor a g-t a (t,0) vektorral közelítve a 0-ba:
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Többváltozós függvény szélsőértéke
Másodikderivált próba
Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad f(u) = 0 és Hf(u) az f Hesse-mátrixa
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) < 0, akkor f-nek u-ban maximuma van
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) > 0, akkor f-nek u-ban minimuma van
- ha det Hf(u) < 0, akkor f-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. nyeregpontja van
- ha det Hf(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy u szélsőérték hely-e.
Megjegyzések. Mivel kétváltozós esetben
ezért olyan eset nem létezik, hogy det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) = 0.
Világos, hogy a másodikderivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).
Ha tehát
- , akkor ,
és így a tipikus példák a következők.
Példák
1. Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.
Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x+x*y+y*y
2. Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.
Ekkor grad f = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és
azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x -3*x*y+y*y
3. Negatív A és C-re és kis B-re:
Ekkor grad f = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot -x*x +x*y-y*y
4. Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.
Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ) és
azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot x*x +x*y-y*y
5. Atipikus eset, ha AC = B2. Ekkor nem jár sikerrel a próba:
Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és
azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. De tudjuk, hogy
ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.
set pm3d
set size 0.8,0.8 set xrange [-1:1] set yrange [-1:1] set zrange [-2:2] set view 50,30,1,1 unset xtics unset ytics unset ztics unset key unset colorboxsplot (x+y)*(x+y)
Kiegészítés
Skalárfüggvények szorzata
λ, μ: H R, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és
azaz
Példa
Számoljuk ki r2 deriváltját a szorzat szabálya szerint.
Egyrészt, ha r ≠ 0, akkor
Másrészt, ha r = 0, akkor
minden r-re fennáll, így grad(id2)(0) = 0 alkalmas az ε(r)=|r|-rel, tehát r2 differenciálható 0-ban is.
a × ... operátor
Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja, divergenciája, rotációja a
leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.
Megoldás
Az a × ..., azaz az
(itt I az identitás leképezés) leképezés lineáris, minthogy a vektoriális szorzás mindkét változójában lineáris (v ∈ Lin(R3;R3)), így differenciálható és differenciálja saját maga:
azaz
minden h és r ∈ R3 vektorra.
Jacobi-mátrixa (a sztenderd bázisbeli mátrixa) tetszőleges (x,y,z) pontban:
Mivel a főátlóbeli elemek mind nullák, ezért ebből rögtön következik, hogy div(a × I)(r) = 0.
azaz rot v (r) = 2a. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a
ami azt mondja, hogy ha az ijk és klm-ben a nem azonos párok jó sorrendben következnek, akkor az epszolon 1-et, ha rossz sorrendben, akkor -1-et ad.
a ... operátor
Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja
leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.
Megoldás
Skalártér lévén Φ gradiensét kell kiszámolnunk. Mivel ez is lineáris leképezés, ezért differenciálható és differenciálja saját maga, azaz a gradiens vektor pont a:
Ezt persze indexes deriválással is kiszámítható:
További példa skalárfüggvényre
Hatérozzuk meg a Φ
(ahol i az x irányú egységvektor, |.| a vektor hossza) függvény szintvonalait, differenciálhatóságát, gradiensét!
Megoldás
Érdemes koordinátás írásmódra áttérni, hiszen az i vektor úgy is a koordinátarendszerhez kapcsolódik. A vektoriális szorzás definíciója miatt
Tehát azok a pontok vannak azonos szintfelületen, melyeknek az [yz] síkra vett vetületük azonos hosszúságú (i × r hossza az i-re merőleges komponense r-nek). Az
- y2 + z2 = 0
egyenlettel megadott pontokban (másként: y = 0 & z = 0 & x tetszőleges) a függvény nem differenciálható, ugyanis a Φ=0 szintfelület elfajúlt módon csak egy egyenes, az x tengely, így a gradiens vektor iránya nem egyértelmű. Ezt azzal is igazolhatjuk, ha vesszük ezekben a pontokban például az y irányú parciális függvényt:
azaz az (x0,0,0) pontokhoz tartozó Φ(x0, . ,0) parciális függvény nem differenciálható a 0-ban.
Máshol a gradiensvektor, a parciális deriváltakat kiszámítva
vagy másként:
Megjegyezzük, hogy ehhez még a függvénykompozíció deriválási szabályával is lejuthattunk volna:
Indexes deriválás
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
Feltéve például, hogy az f többváltozós skalárfüggvény parciálisan differenciálható, a gradiens elemeit így nyerjük:
1. Példa
Ha f(r) = r2, akkor
de a koordinátafüggvények deriváltjairól tudjuk, hogy azoknak az értékét a Kronecker-delta adja:
azaz
tehát parciálisan differenciálható minden pontban és a Jacobi-mártix elemei a fentiek.
2. Példa
Ha f(r) = ar, akkor
3. Példa
Ha f(r) = |r|α, akkor
itt ne feledjük, hogy k-ra szummázunk és hogy az összetett tényezőben a skaláris szorzat szerepel:
tehát parciálisan differenciálható minden pontban és a Jacobi-mártix elemei a fentiek.
Deriválttenzor és invariánsai
Ha A az f:Rn ⊃ Rn leképezés differenciálja az u pontban, akkor A-t deriválttenzornak nevezzük. Minden tenzor egyértelműen előáll egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegeként:
Ebből a szimmetrikus rész főátlbeli elemeinek összege minden bázisban ugyanaz a skaláris érték, melyet a tenzor nyomának, illetve a függvény divergenciájának nevezzük:
- illetve
Az utóbbi írásmód a koordinátás alakban az úgy nevezett Einstein-féle jelölési konvenció, amelynek elve, hogy a kétszer stereplő indexekre automatikusan szumma értendő.
Példa
f:R3 ⊃ R3 esetben a tenzor antiszimmetrikus részéhez egyértelműen létezik egy olyan a vektor, hogy minden r-re:
mely vektort az f rotációjának nevezzük:
- és
ahol
a Levi-Civita-szimbólum.
Skalárfüggvénnyel való szorzás
λ: H R, f:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és
azaz
ahol a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. Ez ritkán kell teljes egészében, a két invariáns (rot-nál csak 3×3-as esetben) a gyakoribb.
Vektorfüggvények skaláris szorzata
f,g:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor fg is és
azaz
illetve a Jacobi-mátrixszal:
ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.
5. gyakorlat | 7. gyakorlat |