Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap jelenlegi, 2017. március 20., 12:58-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

1.

$f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,$

T = [0,1]×[0,π/2]

2.

$f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,$

T = [0,1]×[0,1]

3.

$f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,$

T = [0,1]×[0,1]

4.

T = [-1,1] × [0,π/4]

$f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}$

5.

T = [-1,1] × [e,

e 2

]

$f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}$

6.

T = [a,b] × [c,d]

f (x, y) = g (x) h (y)

téglalapon szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:

$\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)$

7.

T = [1,e] × [1,2]

$f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}$

8.

$T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}$

$f(x,y)=x^3\cos(xy)\,$

9.

$\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy$

10.

$\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx$

11.

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy$

12.

$\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy$

13.

$\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy$

14.

$\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy$

$T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}$

15.

$\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz$

$T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}$

6. gyakorlat	8. gyakorlat

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
+'''1.'''
+:<math>f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,</math>
+:''T'' = [0,1]&times;[0,&pi;/2]
+'''2.'''
+:<math>f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,</math>
+:''T'' = [0,1]&times;[0,1]
+'''3.'''
+:<math>f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,</math>
+:''T'' = [0,1]&times;[0,1]
+'''4.'''
+:T = [-1,1] &times; [0,&pi;/4]
+:<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}</math>
+'''5.'''
+:T = [-1,1] &times; [e,<math>e^2</math>]
+:<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}</math>
+'''6.'''
+:T = [a,b] &times; [c,d]
+:<math>f(x,y)=g(x)h(y)</math>
+''téglalapon''  szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:
+:<math>\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)</math>
+'''7.'''
+:T = [1,e] &times; [1,2]
+:<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}</math>
+'''8.'''
+:<math>T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}</math>
+:<math>f(x,y)=x^3\cos(xy)\,</math>
+'''9.'''
+:<math>\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy</math>
+'''10.'''
+:<math>\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx</math>
+'''11.'''
+:<math>\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy</math>
+'''12.'''
+:<math>\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy</math>
+'''13.'''
+:<math>\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy</math>
+'''14.'''
+:<math>\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy</math>
+:<math>T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}</math>
+'''15.'''
+:<math>\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz</math>
+:<math>T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}</math>
+<!--Comment
+==Skalárfüggvények szorzata==
+&lambda;, &mu;: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' &sube; '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' &isin; ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor &lambda;&mu; is és
+:<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math>
+azaz
+:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math>
+===Példa===
+Számoljuk ki '''r'''<sup>2</sup> deriváltját a szorzat szabálya szerint.
+Egyrészt, ha '''r''' &ne; '''0''', akkor
+:<math>\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,</math>
+Másrészt, ha '''r''' = '''0''', akkor
+:<math> \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,</math>
+minden '''r'''-re fennáll, így grad('''id'''<sup>2</sup>)('''0''') = '''0''' alkalmas az &epsilon;('''r''')=|'''r'''|-rel, tehát '''r'''<sup>2</sup> differenciálható 0-ban is.
 ==Függvénykompozíció differenciálja==
 '''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> &sup;<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' &isin; int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az
@@ 76. sor: / 153. sor: @@
 '''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>&alpha;</sup> milyen &alpha;-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
 ==Folytonos parciális differenciálhatóság==
@@ 146. sor: / 222. sor: @@
 * <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
+-->

Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

A lap jelenlegi, 2017. március 20., 12:58-kori változata

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök