Matematika A2a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megoldás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→'''a''' × ... operátor) |
||
| 25. sor: | 25. sor: | ||
azaz rot '''v''' ('''r''') = 2'''a'''. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a | azaz rot '''v''' ('''r''') = 2'''a'''. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a | ||
:<math>\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{jm}\delta_{li}-\delta_{jl}\delta_{im}\,</math> | :<math>\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{jm}\delta_{li}-\delta_{jl}\delta_{im}\,</math> | ||
| + | ami azt mondja, hogy ha az ijk és klm-ben a nem azonos párok jó sorrendben következnek, akkor az epszolon 1-et, ha rossz sorrendben, akkor -1-et ad. | ||
| + | |||
| + | =='''a''' <math>\cdot</math> ... operátor== | ||
| + | Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja | ||
| + | :<math>\Phi:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R};\quad \Phi(\mathbf{r})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{r}</math> | ||
| + | leképezésnek, ahol '''a''' előre megadott konstans vektor. | ||
| + | ===Megoldás=== | ||
| + | Skalártér lévén Φ gradiensét kell kiszámolnunk. Mivel ez is lineáris leképezés, ezért differenciálható és differenciálja saját maga, azaz a gradiens vektor pont '''a''': | ||
| + | :<math>\mathrm{grad}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{a}</math> | ||
| + | Ezt persze indexes deriválással is kiszámítható: | ||
| + | :<math>[\mathrm{grad}\,\Phi]_i=\partial_ia_kx_k=a_k\partial_ix_k=a_k\delta_{ik}=a_i\,</math> | ||
| + | ==További példa skalárfüggvényre== | ||
| + | Hatérozzuk meg a Φ | ||
| + | :<math>\Phi:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R};\quad \Phi(\mathbf{r})=|\mathbf{i}\times\mathbf{r}|</math> | ||
| + | (ahol '''i''' az ''x'' irányú egységvektor, |.| a vektor hossza) függvény szintvonalait, differenciálhatóságát, gradiensét! | ||
| + | ===Megoldás== | ||
| + | |||
| + | |||
<center> | <center> | ||
A lap 2008. április 4., 21:50-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
a × ... operátor
Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja, divergenciája, rotációja a
leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.
Megoldás
Az a × ..., azaz az
(itt I az identitás leképezés) leképezés lineáris, minthogy a vektoriális szorzás mindkét változójában lineáris (v ∈ Lin(R3;R3)), így differenciálható és differenciálja saját maga:
azaz
minden h és r ∈ R3 vektorra.
Jacobi-mátrixa (a sztenderd bázisbeli mátrixa) tetszőleges (x,y,z) pontban:
Mivel a főátlóbeli elemek mind nullák, ezért ebből rögtön következik, hogy div(a × I)(r) = 0.
![[\mathrm{rot}\,\mathbf{v}]_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j\varepsilon_{klm}a_lx_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\partial_j x_m=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}a_l\delta_{jm}=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klj}a_l=](/upload/math/6/4/2/642b95a997703a68637ff5897331d591.png)
azaz rot v (r) = 2a. Az előbb felhasználtuk a kettős vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel indexes alakját, a
ami azt mondja, hogy ha az ijk és klm-ben a nem azonos párok jó sorrendben következnek, akkor az epszolon 1-et, ha rossz sorrendben, akkor -1-et ad.
a 
... operátor
Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja
leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.
Megoldás
Skalártér lévén Φ gradiensét kell kiszámolnunk. Mivel ez is lineáris leképezés, ezért differenciálható és differenciálja saját maga, azaz a gradiens vektor pont a:
Ezt persze indexes deriválással is kiszámítható:
![[\mathrm{grad}\,\Phi]_i=\partial_ia_kx_k=a_k\partial_ix_k=a_k\delta_{ik}=a_i\,](/upload/math/e/6/7/e67c528d00633fe5efe34a67e9c2aef9.png)
További példa skalárfüggvényre
Hatérozzuk meg a Φ
(ahol i az x irányú egységvektor, |.| a vektor hossza) függvény szintvonalait, differenciálhatóságát, gradiensét!
=Megoldás
| 6. gyakorlat | 8. gyakorlat |
