Matematika A2a 2008/7. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 22 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=xy\sin(x^2y)\,</math> | ||
+ | :''T'' = [0,1]×[0,π/2] | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=2xy^2e^{x^2y}\,</math> | ||
+ | :''T'' = [0,1]×[0,1] | ||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^7+\dfrac{\mathrm{arctg}(y)}{1+y^2}\,</math> | ||
+ | :''T'' = [0,1]×[0,1] | ||
+ | |||
+ | '''4.''' | ||
+ | :T = [-1,1] × [0,π/4] | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{1}{\cos^2 y}</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' | ||
+ | :T = [-1,1] × [e,<math>e^2</math>] | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sin(x^3)\frac{\sin^{2017}(\mathrm{sh}(y))}{\mathrm{ln}\,y}</math> | ||
+ | |||
+ | '''6.''' | ||
+ | :T = [a,b] × [c,d] | ||
+ | :<math>f(x,y)=g(x)h(y)</math> | ||
+ | ''téglalapon'' szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét: | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{x=0}^b\int\limits_{y=c}^{d}g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{x=a}^b g(x)\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\left(\int\limits_{x=a}^b g(x)\,\mathrm{d}x\right)\cdot\left(\int\limits_{y=c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right)</math> | ||
+ | |||
+ | '''7.''' | ||
+ | :T = [1,e] × [1,2] | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{\mathrm{ln}^9\,x}{xy}</math> | ||
+ | |||
+ | '''8.''' | ||
+ | :<math>T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\;\wedge\;0\leq y\leq x^2\}</math> | ||
+ | :<math>f(x,y)=x^3\cos(xy)\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''9.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{y=0}^\pi\int\limits_{0}^{\cos y}x\sin y\;dxdy</math> | ||
+ | |||
+ | '''10.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{\sqrt{\pi}}^{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x^3}\sin \frac{y}{x}\;dydx</math> | ||
+ | |||
+ | '''11.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{y}^{1}e^{x^2}\;dxdy</math> | ||
+ | |||
+ | '''12.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{4}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}\sin\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\;dxdy</math> | ||
+ | |||
+ | '''13.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{1+y^2}^{5}y\cdot e^{(x-1)^2}\;dxdy</math> | ||
+ | |||
+ | '''14.''' | ||
+ | :<math>\iint\limits_{T_{x,y}} xy^7\;dxdy</math> | ||
+ | :<math>T_{x,y}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1,\quad x\geq 0, \quad y\geq 0\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''15.''' | ||
+ | :<math>\iiint\limits_{T_{x,y,z}} \sqrt{x^2+y^2}\cdot xy^2 z^2\;dxdydz</math> | ||
+ | :<math>T_{x,y,z}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 4,\quad x\geq 0, \quad 0\leq z\leq 3\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <!--Comment | ||
+ | |||
+ | ==Skalárfüggvények szorzata== | ||
+ | λ, μ: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ahol ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' ∈ ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és | ||
+ | :<math>[\mathrm{d}(\lambda\mu)(u)]_{1j}=\partial_j(\lambda\mu)=\mu\partial_j\lambda+\lambda\partial_j\mu=[\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)]_{j}</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math> | ||
+ | ===Példa=== | ||
+ | Számoljuk ki '''r'''<sup>2</sup> deriváltját a szorzat szabálya szerint. | ||
+ | |||
+ | Egyrészt, ha '''r''' ≠ '''0''', akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2=\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|\cdot|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\mathrm{grad}|\mathbf{r}|=2|\mathbf{r}|.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}| } =2\mathbf{r}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Másrészt, ha '''r''' = '''0''', akkor | ||
+ | :<math> \mathbf{r}^2=0+\mathbf{0}\cdot\mathbf{r}+|\mathbf{r}|\cdot |\mathbf{r}|\,</math> | ||
+ | minden '''r'''-re fennáll, így grad('''id'''<sup>2</sup>)('''0''') = '''0''' alkalmas az ε('''r''')=|'''r'''|-rel, tehát '''r'''<sup>2</sup> differenciálható 0-ban is. | ||
==Függvénykompozíció differenciálja== | ==Függvénykompozíció differenciálja== | ||
'''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' ∈ int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az | '''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' ∈ int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az | ||
76. sor: | 153. sor: | ||
'''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>α</sup> milyen α-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja? | '''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>α</sup> milyen α-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja? | ||
− | |||
==Folytonos parciális differenciálhatóság== | ==Folytonos parciális differenciálhatóság== | ||
116. sor: | 192. sor: | ||
Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban: | Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban: | ||
− | :<math>\partial_1f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,x)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x((x+t)^2-x^2)}{t((x+t)^2+x^2}</math> | + | :<math>\partial_1f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,x)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x((x+t)^2-x^2)}{t((x+t)^2+x^2)}=</math> |
− | :<math>\ | + | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2tx+t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(x+t)x(2x+t)}{2x^2+2tx+t^2}=\lim\limits_{t\to 0}=x</math> |
+ | :<math>\partial_2f(x,x)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,x+t)-f(0,0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(x^2-(x+t)^2)}{t(x^2+(x+t)^2)}=</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{x(x+t)(-2tx-t^2)}{t(2x^2+2tx+t^2)}=-x</math> | ||
+ | Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt | ||
− | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t, | + | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,t)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(t,-t)-(-t,t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(2t,-2t)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}(2\mathrm{sgn}(t),-2\mathrm{sgn}(t))\ne (0,0)\,</math> |
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | ||
143. sor: | 222. sor: | ||
* <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága | * <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága | ||
− | + | --> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
A lap jelenlegi, 2017. március 20., 12:58-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
1.
- T = [0,1]×[0,π/2]
2.
- T = [0,1]×[0,1]
3.
- T = [0,1]×[0,1]
4.
- T = [-1,1] × [0,π/4]
5.
- T = [-1,1] × [e,e2]
6.
- T = [a,b] × [c,d]
- f(x,y) = g(x)h(y)
téglalapon szeparálható integrandus integrálja szorzattá esik szét:
7.
- T = [1,e] × [1,2]
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
6. gyakorlat | 8. gyakorlat |