Matematika A2a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Másodrendű parciális deriváltak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Nevezetes függvénysorozat) |
||
146. sor: | 146. sor: | ||
* <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága | * <math>f_n(x,y)=\frac{x^ny}{x^2+y^2}\quad f_n(0,0)=0</math> függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága | ||
+ | ==Implicit függvény deriváltja== | ||
+ | |||
+ | '''Implicit''' megadású '''függvény'''ről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) ''y'' = ''f''(''x'') alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó | ||
+ | :<math>F(x,y) = 0 \,</math> | ||
+ | egyenlet írja le. | ||
+ | Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az | ||
+ | :<math>x^2+y^2=1\,</math> | ||
+ | egyenletű körből könnyű az ''y'' változót kifejezni, az <math>\mbox{ }_{y=\sqrt{1-x^2}}</math> és <math>\mbox{ }_{y=-\sqrt{1-x^2}}</math> alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a | ||
+ | :<math>\sin y =x\,</math> | ||
+ | esetén semmi reményünk, hogy az ''y'' változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket ''implicit'', avagy régi, választékos kifejezéssel élve ''bennrekedt'' függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is. | ||
+ | |||
+ | A modern analízis szemszögéből egy N × M <math>\rightarrow</math> K normált terek között ható ''F'' függvény ''a'' ∈ ''N'' és ''b'' ∈ ''M'' pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az ''a'' egy ''U'' környezetén értelmezett és a ''b'' egy ''V'' környezetébe képező ''f'':''U'' <math>\rightarrow </math> ''V'' függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden ''x'' ∈ ''U'' pont esetén rendelkezik az | ||
+ | :<math>F(x,f(x))=0\,</math> | ||
+ | tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az ''y'' változó kifejezhető y=f(x) alakban. | ||
+ | |||
+ | Most szorítkozzunk csak a kétváltozós esetre és tegyük fel, hogy létezik differenciálható implicit függvénye a differenciálható F függvénynek. Ekkor az F(x,y) függvény implicit függvénye az f(x), ha egy adott (u,v) pontban: | ||
+ | :F(u,v)=0 és | ||
+ | :minden az f értelmezési tartományába eső x-re F(x,f(x))≡0 és | ||
+ | :f(u)=v, | ||
+ | akkor világos, hogy ha | ||
+ | :0 ≡ φ(x) = F(x,f(x)) = (F<math>\circ</math>(id,f))(x) , | ||
+ | akkor | ||
+ | :φ'(x) ≡ 0 | ||
+ | így tehát a függvénykompozíció deriválásának szabálya szerint: | ||
+ | :<math>\varphi'(u)=[\partial_1F(u,v),\partial_2F(u,v)]\cdot \begin{bmatrix}1\\f'(u)\end{bmatrix}=\partial_1 F(u,v)+\partial_2F(u,v)\cdot f'(u)\,=0</math> | ||
+ | így | ||
+ | :<math>f'(u)=-\frac{\partial_1 F(u,v)}{\partial_2 F(u,v)} \,</math> | ||
+ | |||
+ | ==Implicitfüggvény tétel== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – ''Implicitfüggvény-tétel '''R'''-beli implicit függvényre'' – Legyen ''F'' az '''R'''<sup>2</sup> egy részhalmazán értelmezett, '''R'''-be képező függvény, mely az értelmezési tartománya egy ''(a,b)'' belső pontjában erősen differenciálható, F(a,b) = 0 és | ||
+ | :<math>\partial_2 F(a,b)\neq 0</math> | ||
+ | (azaz (a,b)-ben az ''y'' szerinti [[parciális derivált]]ja nem nulla). | ||
+ | Ekkor van a-nak olyan <math>I</math> és b-nek olyan <math>J</math> környezete, hogy F-nek egyértelműen létezik az (a,b) párhoz tartozó f: <math>I</math> <math>\rightarrow</math> <math>J</math> implicit függvénye, mely erősen differenciálható a-ban és deriváltja: | ||
+ | :<math>f'(a)=-\frac{\partial_1 F(a,b)}{\partial_2 F(a,b)}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' A (a,b)-beli erős differenciálhatóságból következik, hogy F folytonosan differenciálható (a,b)-ben. Választhatunk tehát olyan <math>I</math> és J nyílt intervallumokat, a és b körül, hogy <math>I</math> × J-n ∂<sub>2</sub>F sehol sem nulla, azonos előjelű. ''Feltehetjük, hogy ∂<sub>2</sub>F pozitív''. Vegyük észre, hogy az implicit függvény létezése egyenértékű azzal, hogy minden ''x'' ∈ <math>I</math>-re az F( x , . ) parciális függvénynek zérushelye van J-ban, hiszen ekkor minden x-hez létezik olyan ''y'' ∈ J, hogy F(x,y)=0. Belátjuk, hogy minden ilyen x-hez egyetlen zérushelye van F( x , . )-nek. | ||
+ | |||
+ | Tekintsük a folytonos F( a , . ) parciális függvényt. Az erős differenciálhatóságból és a pozitívra választott deriváltból következik, hogy ez <math>I</math>-n szigorúan monoton növekvő. Mivel b-ben zérushelye van ( F(a,b)=0 ), ezért van olyan <math>y_2</math> > b pont, hogy ott F( a , . ) pozitív és <math>y_1</math> < b pont, hogy ott F( a , . ) negatív. Ekkor F folytonossága miatt van az (a,<math>y_1</math>) pontnak olyan környezete, ahol F negatív és | ||
+ | van az (a,<math>y_2</math>) pontnak olyan környezete, ahol F pozitív. Most definiáljuk át <math>I</math>-t és J-t úgy, hogy <math>I</math> × J-n az F egy J-beli elem fölött mindenhol pozitív, egy J-beli elem alatt mindehol negatív értéket vegyen föl. | ||
+ | |||
+ | Az erős differenciálhatóságból az is következik, hogy minden x ∈ <math>I</math>-re az F( x , . ) függvény is szigorúan monoton növekvő, negatív és pozitív értéket is felvevő folytonos függvény, így a [[Bolzano-tétel]] alapján létezik <math>y_x</math> zérushelye és mindegyiknek egyetlen zérushelye létezik. Állítjuk, hogy a φ:<math>I</math> <math>\rightarrow</math> J, x <math>\mapsto</math> <math>y_x</math> függvény implicit függvénye F-nek, azaz minden x ∈ <math>I</math>-re F(x,φ(x))=0. | ||
+ | |||
+ | Könnyen belátható, hogy φ folytonos a-ban, hiszen ha a-hoz közeledve mindig találnánk olyan x pontot, hogy φ(x) egy adott ε-nál mindig jobban eltér b-től, akkor φ(x) egy olyan környezetbe esne bele, ahol F mindenhol egy pozitív számnál nagyobb vagy mindenhol egy negatív számnál kisebb. Ám, F(x,φ(x))=0, így ez ellentmondana | ||
+ | F folytonos tulajdonságának. | ||
+ | |||
+ | φ erősen differenciálható (a,b)-ben, hiszen tetszőleges <math>x_1</math>, <math>x_2</math> ∈ <math>I</math>-re az F erős differenciálhatósága miatt fennáll | ||
+ | :<math>0=F(x_1,\varphi(x_1))-F(x_2,\varphi(x_2))=</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1F(a,b)(x_2-x_1)+\partial_2F(a,b)(\varphi(x_2)-\varphi(x_1))+</math> | ||
+ | :<math>+\varepsilon\cdot(x_2-x_1)+\eta\cdot(\varphi(x_2)-\varphi(x_1))</math> | ||
+ | azaz (a pozitív ∂<sub>2</sub>F(a,b) miatt pozitívra választható ∂<sub>2</sub>F(a,b)+η miatt): | ||
+ | : <math>\frac{\varphi(x_2)-\varphi(x_1)}{x_2-x_1}=-\frac{\partial_1F(a,b)+\varepsilon}{\partial_2F(a,b)+\eta}</math> | ||
+ | és innen (<math>x_1</math>,<math>x_2</math>)<math>\to</math>(a,a) határátmenetet véve, a másodendű tagok eltűnését követően kapjuk az állítás eredményét. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum| ■ ]]</big></big></big> | ||
+ | |||
+ | Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az implicit függvény értékére fennáll ugyan a | ||
+ | : <math>\mbox{ }_{\varphi(x)=\varphi(a)-\frac{\partial_1F(a,b)+\varepsilon}{\partial_2F(a,b)+\eta}(x-a)}</math> | ||
+ | egyenlőség, de mivel ε és η ki nem írt argumentumaiban szerepel φ(x), ezért ez sem egy explicit alak. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | === Példák=== | ||
+ | |||
+ | Tekintsük a következő egyenletű síkgörbét: | ||
+ | :<math>x^5+xy+y^5=3\,</math> | ||
+ | Nem lenne könnyű feladat kifejezni belőle y-t, mert az ötödfokú egyenletnek nincs általános megoldóképlete. Mivel a baloldal akárhányszor differenciálható, ezért joggal feltételezhetjük, hogy bizonyos pontokban létezik implicit függvénye. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Ekkor az egyenlet | ||
+ | :<math>x^5+x\varphi(x)+(\varphi(x))^5=3</math> | ||
+ | alakú, melynek minden olyan x-nél, ahol φ differenciálható: | ||
+ | :<math>5x^4+\varphi(x)+x\varphi'(x)+5\varphi^4(x)\cdot\varphi'(x)=0</math> | ||
+ | ahonnan a derivált: | ||
+ | <math>\varphi'(x)=-\frac{5x^4+\varphi(x)}{5\varphi^4(x)+x}</math> vagy szimbolikusan: <math>y'=-\frac{5x^4+y}{5y^4+x}</math>. | ||
+ | Alaposabb vizsgálatokkal kideríthető, hogy ez a derivált minden pontban létezik és negatív, így az implicit függvény mindenhol létezik és szigorúan monoton csökkenő. Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő kifejezés pont ∂<sub>y</sub>F(x,y) és az implicit függvény létezésének feltétele pont a nevező nullától különböző volta. | ||
+ | ==Többváltozós eset== | ||
+ | |||
+ | Ebben az esetben is az „érintősík” végtelenül közelítő tulajdonsága játszik majd fontos szerepet. Jól látható az összefüggés, ha feltesszük, hogy ''F'' egy '''R'''<sup>n</sup>×'''R'''<sup>m</sup>-en értelmezett affin függvény, azaz egy lineáris leképezés eltoltja. Ekkor | ||
+ | :''F(x,y) = F(a+h,b+k) = F(a,b)+dF<sub>1</sub>(a,b)h+dF<sub>2</sub>(a,b)k''. | ||
+ | Amennyiben ''y = y(x)'' olyan, hogy ''y(a) = b'' és ''F(x,y(x)) = 0'', akkor fennáll a ''0 = dF<sub>1</sub>(a,b)h + dF<sub>2</sub>(a,b)k'' | ||
+ | egyenlőség és ''k'' kifejezhető, amennyiben az ''A = dF<sub>2</sub>(a,b)'' mátrix invertálható. A ''B = dF<sub>1</sub>(a,b)'' jelöléssel ekkor | ||
+ | :''k = -(A<sup>-1</sup><math>\cdot</math>B) h''. | ||
+ | Általános esetben ez csak egy másodrendűen kicsiny tag hozzávételével lesz igaz, de az implicit függvény létezésének belátásához szükséges a fenti gondolatmenet is. | ||
+ | |||
+ | [[Banach-tér|Banach-terek]] esetén (melyek akár végtelen [[dimenzió]]sak is lehetnek) a tétel a következő. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – ''Implicitfüggvény-tétel Banach-terekre'' – Legyen E, H, G Banach-terek, F:E × H <math>\rightarrow</math> G olyan függvény, mely (a,b) ∈ E × H-ban erősen differenciálható. Ha a ∂<sub>2</sub>F(a,b) lineáris leképezés injektív és az inverzével együtt folytonos, akkor egyértelműen létezik az F-nek egy az (a,b) párhoz tartozó f lokális implicit függvénye, ez erősen differenciálható a-ban és differenciálja: | ||
+ | : <math>df(a)=-(\partial_2 F(a,b))^{-1}\circ(\partial_1 F(a,b))</math> | ||
+ | |||
+ | Vagy egy kevésbé absztrakt tétel: | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' – ''Implicitfüggvény-tétel '''R'''<sup>n</sup>-re'' – Legyen F:'''R'''<sup>n</sup>×'''R'''<sup>m</sup><math>\rightarrow</math>'''R'''<sup>m</sup> folytonosan differenciálható függvény, (a,b) ∈ '''R'''<sup>n</sup>×'''R'''<sup>m</sup>olyanok, hogy F(a,b)=0 és <math>\mbox{ }_{\det\left(\frac{\partial F_i(a,b)}{\partial y_k}\right)_{i,k=1,...,m}\ne 0}</math>. Ekkor egyértelműen létezik F-nek egy az (a,b)-hez tartozó lokális implicit függvénye. | ||
A lap 2009. április 2., 20:22-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi
Következmény. Ha g: Rn ⊃ R, az u-ban differenciálható, f: R ⊃ R a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g), akkor
- differenciálható u-ban és
Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.
Ugyanis, a deriváltak lineáris leképezések:
Ezek kompozíciója (f-et az x=g(u)-ban felírva):
Hol diffható?
(Útmutatás: abs'=sgn, a 0-án kívül.)
0-ban nem, mert a parciális deriváltak nem léteznek. Azon kívül:
Külső függvény:
nemnulla x-re:
A belső:
gradiense 2r.
Így:
Gömbszimmetrikus feldatok
Mi az
függvény gradiense és differenciálja. Hol diffható?
0-ban α=1 vagy α<1 esetén biztosan nem diffható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.
A külső függvény:
A belső függvény:
Ez nem diffható 0-ban (mert a parciális deriváltjai nem léteznek), de máshol:
Ekkor r≠0-ban:
Ha r=0 és α>1, akkor
Tehát a derivált
Példa. r3|r|α milyen α-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény
parciális deriváltfüggvényei léteznek:
a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
A Young-tételnél beláttuk, hogy ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. Most már azt is tudjuk miért. A függvény gradiense nem differenciálható totálisan a 0-ban. Ehhez elevenítsük föl, hogy
ami a 90˚-os forgatás.
Számoljuk ki g értékét a (x,x) alakú pontokban:
Tehát g(t,t)=(t,-t), és emiatt
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
Nevezetes függvénysorozat
- függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
Implicit függvény deriváltja
Implicit megadású függvényről akkor beszélünk, amikor egy függvény megadása nem (az explicit módon) y = f(x) alakban történik, hanem az x és y kapcsolatát egy mindkét változót tartalmazó
egyenlet írja le. Például adjunk meg olyan függvényt, melynek grafikonja valamely kör egy szakasza. Az
egyenletű körből könnyű az y változót kifejezni, az és alakokat kapjuk. Bonyolultabb esetekben, például a
esetén semmi reményünk, hogy az y változóra valamilyen egyenletrendezéssel általános képletet kapjunk. Az ilyen példák miatt nevezik ezeket a típusú függvényeket implicit, avagy régi, választékos kifejezéssel élve bennrekedt függvényeknek. A differenciálszámítás szempontjából megelégedhetünk azzal, ha az implicit függvény deriváltját ki tudjuk számolni. Sok esetben ebből már következtethetünk a függvényre vagy annak viselkedésére is.
A modern analízis szemszögéből egy N × M K normált terek között ható F függvény a ∈ N és b ∈ M pontokhoz tartozó implicit függvényén olyan, az a egy U környezetén értelmezett és a b egy V környezetébe képező f:U V függvényt értünk, melyre f(a)=b és minden x ∈ U pont esetén rendelkezik az
tulajdonsággal. Amelyet szavakban úgy fogalmazhatunk meg, hogy az F(x,y)=0 egyenletből az y változó kifejezhető y=f(x) alakban.
Most szorítkozzunk csak a kétváltozós esetre és tegyük fel, hogy létezik differenciálható implicit függvénye a differenciálható F függvénynek. Ekkor az F(x,y) függvény implicit függvénye az f(x), ha egy adott (u,v) pontban:
- F(u,v)=0 és
- minden az f értelmezési tartományába eső x-re F(x,f(x))≡0 és
- f(u)=v,
akkor világos, hogy ha
- 0 ≡ φ(x) = F(x,f(x)) = (F(id,f))(x) ,
akkor
- φ'(x) ≡ 0
így tehát a függvénykompozíció deriválásának szabálya szerint:
így
Implicitfüggvény tétel
Tétel – Implicitfüggvény-tétel R-beli implicit függvényre – Legyen F az R2 egy részhalmazán értelmezett, R-be képező függvény, mely az értelmezési tartománya egy (a,b) belső pontjában erősen differenciálható, F(a,b) = 0 és
(azaz (a,b)-ben az y szerinti parciális deriváltja nem nulla). Ekkor van a-nak olyan I és b-nek olyan J környezete, hogy F-nek egyértelműen létezik az (a,b) párhoz tartozó f: I J implicit függvénye, mely erősen differenciálható a-ban és deriváltja:
Bizonyítás. A (a,b)-beli erős differenciálhatóságból következik, hogy F folytonosan differenciálható (a,b)-ben. Választhatunk tehát olyan I és J nyílt intervallumokat, a és b körül, hogy I × J-n ∂2F sehol sem nulla, azonos előjelű. Feltehetjük, hogy ∂2F pozitív. Vegyük észre, hogy az implicit függvény létezése egyenértékű azzal, hogy minden x ∈ I-re az F( x , . ) parciális függvénynek zérushelye van J-ban, hiszen ekkor minden x-hez létezik olyan y ∈ J, hogy F(x,y)=0. Belátjuk, hogy minden ilyen x-hez egyetlen zérushelye van F( x , . )-nek.
Tekintsük a folytonos F( a , . ) parciális függvényt. Az erős differenciálhatóságból és a pozitívra választott deriváltból következik, hogy ez I-n szigorúan monoton növekvő. Mivel b-ben zérushelye van ( F(a,b)=0 ), ezért van olyan y2 > b pont, hogy ott F( a , . ) pozitív és y1 < b pont, hogy ott F( a , . ) negatív. Ekkor F folytonossága miatt van az (a,y1) pontnak olyan környezete, ahol F negatív és van az (a,y2) pontnak olyan környezete, ahol F pozitív. Most definiáljuk át I-t és J-t úgy, hogy I × J-n az F egy J-beli elem fölött mindenhol pozitív, egy J-beli elem alatt mindehol negatív értéket vegyen föl.
Az erős differenciálhatóságból az is következik, hogy minden x ∈ I-re az F( x , . ) függvény is szigorúan monoton növekvő, negatív és pozitív értéket is felvevő folytonos függvény, így a Bolzano-tétel alapján létezik yx zérushelye és mindegyiknek egyetlen zérushelye létezik. Állítjuk, hogy a φ:I J, x yx függvény implicit függvénye F-nek, azaz minden x ∈ I-re F(x,φ(x))=0.
Könnyen belátható, hogy φ folytonos a-ban, hiszen ha a-hoz közeledve mindig találnánk olyan x pontot, hogy φ(x) egy adott ε-nál mindig jobban eltér b-től, akkor φ(x) egy olyan környezetbe esne bele, ahol F mindenhol egy pozitív számnál nagyobb vagy mindenhol egy negatív számnál kisebb. Ám, F(x,φ(x))=0, így ez ellentmondana F folytonos tulajdonságának.
φ erősen differenciálható (a,b)-ben, hiszen tetszőleges x1, x2 ∈ I-re az F erős differenciálhatósága miatt fennáll
azaz (a pozitív ∂2F(a,b) miatt pozitívra választható ∂2F(a,b)+η miatt):
és innen (x1,x2)(a,a) határátmenetet véve, a másodendű tagok eltűnését követően kapjuk az állítás eredményét. ■
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az implicit függvény értékére fennáll ugyan a
egyenlőség, de mivel ε és η ki nem írt argumentumaiban szerepel φ(x), ezért ez sem egy explicit alak.
Példák
Tekintsük a következő egyenletű síkgörbét:
Nem lenne könnyű feladat kifejezni belőle y-t, mert az ötödfokú egyenletnek nincs általános megoldóképlete. Mivel a baloldal akárhányszor differenciálható, ezért joggal feltételezhetjük, hogy bizonyos pontokban létezik implicit függvénye. Tegyük fel, hogy φ ilyen függvény. Ekkor az egyenlet
alakú, melynek minden olyan x-nél, ahol φ differenciálható:
ahonnan a derivált: vagy szimbolikusan: . Alaposabb vizsgálatokkal kideríthető, hogy ez a derivált minden pontban létezik és negatív, így az implicit függvény mindenhol létezik és szigorúan monoton csökkenő. Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő kifejezés pont ∂yF(x,y) és az implicit függvény létezésének feltétele pont a nevező nullától különböző volta.
Többváltozós eset
Ebben az esetben is az „érintősík” végtelenül közelítő tulajdonsága játszik majd fontos szerepet. Jól látható az összefüggés, ha feltesszük, hogy F egy Rn×Rm-en értelmezett affin függvény, azaz egy lineáris leképezés eltoltja. Ekkor
- F(x,y) = F(a+h,b+k) = F(a,b)+dF1(a,b)h+dF2(a,b)k.
Amennyiben y = y(x) olyan, hogy y(a) = b és F(x,y(x)) = 0, akkor fennáll a 0 = dF1(a,b)h + dF2(a,b)k egyenlőség és k kifejezhető, amennyiben az A = dF2(a,b) mátrix invertálható. A B = dF1(a,b) jelöléssel ekkor
- k = -(A-1B) h.
Általános esetben ez csak egy másodrendűen kicsiny tag hozzávételével lesz igaz, de az implicit függvény létezésének belátásához szükséges a fenti gondolatmenet is.
Banach-terek esetén (melyek akár végtelen dimenziósak is lehetnek) a tétel a következő.
Tétel – Implicitfüggvény-tétel Banach-terekre – Legyen E, H, G Banach-terek, F:E × H G olyan függvény, mely (a,b) ∈ E × H-ban erősen differenciálható. Ha a ∂2F(a,b) lineáris leképezés injektív és az inverzével együtt folytonos, akkor egyértelműen létezik az F-nek egy az (a,b) párhoz tartozó f lokális implicit függvénye, ez erősen differenciálható a-ban és differenciálja:
Vagy egy kevésbé absztrakt tétel:
Tétel – Implicitfüggvény-tétel Rn-re – Legyen F:Rn×RmRm folytonosan differenciálható függvény, (a,b) ∈ Rn×Rmolyanok, hogy F(a,b)=0 és . Ekkor egyértelműen létezik F-nek egy az (a,b)-hez tartozó lokális implicit függvénye.
6. gyakorlat | 8. gyakorlat |