Matematika A2a 2008/7. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

a × ... operátor

Differenciálható-e és ha igen mi a differenciálja, divergenciája, rotációja a

$\mathbf{v}:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{v}(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathbf{r}$

leképezésnek, ahol a előre megadott konstans vektor.

Megoldás

Az a × ..., azaz az

$\mathbf{a}\times\mathrm{I}\,$

(itt I az identitás leképezés) leképezés lineáris, minthogy a vektoriális szorzás mindkét változójában lineáris (v ∈ Lin(R³;R³)), így differenciálható és differenciálja saját maga:

$\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r})=\mathbf{a}\times\mathrm{I}$

azaz

$(\mathrm{d}(\mathbf{a}\times\mathrm{I})(\mathbf{r}))\mathbf{h}=\mathbf{a}\times\mathbf{h}$

minden h és r ∈ R³ vektorra.

Jacobi-mátrixa (a sztenderd bázisbeli mátrixa) tetszőleges (x,y,z) pontban:

$\mathrm{J}^{\mathbf{a}\times\mathrm{I}}(x,y,z)= \begin{bmatrix} \;\,0 & -a_3& \;\;\,a_2\\ \;\;\,a_3 & \;\,0 & -a_1\\ -a_2 & \;\;\,a_1& \;\,0\\ \end{bmatrix}$

6. gyakorlat

8. gyakorlat