Matematika A2a 2008/9. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→2. Példa) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | ==Függvénytérbeli projekció== | ||
+ | Tekintsük | ||
+ | :<math>L^2[0,\pi]=\{f:[0,\pi]\to \mathbf{R}\mid ''f\quad\mathrm{Lebesgue\mbox{-}int.\mbox{-}hato\!'\,}''\}</math> | ||
+ | Ebben a belső szorzat: | ||
+ | :<math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{0}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\,</math> | ||
+ | Számítsuk ki az | ||
+ | :<math>f(x)=x,\quad x\in[0,\pi]\,</math> | ||
+ | függvény | ||
+ | :<math>L=\mathrm{Span}(\sin)\subseteq L^2[0,\pi]</math> | ||
+ | altérre eső merőleges vetületét! | ||
+ | |||
+ | Kell: λ, hogy f(x) vetülete = λ.sin(x). Projekciótétellel: | ||
+ | :<math>\langle x-\lambda.\sin(x),\sin(x)\rangle=0\quad\Leftrightarrow\quad\langle x,\sin(x)\rangle-\lambda||\sin(x)||^2=0 \quad\Leftrightarrow\quad</math> | ||
+ | :<math>\quad\Leftrightarrow\quad\langle x,\sin(x)\rangle-\lambda||\sin(x)||^2=0\quad\Leftrightarrow\quad \lambda=\frac{\langle x,\sin(x)\rangle}{||\sin(x)||^2}</math> | ||
+ | Megj: pont ezt adná a Gram-Schmidt is. | ||
+ | :<math>\int x\sin x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)-\int -\cos x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)+\sin x</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x=[x(-\cos x)+\sin x]^\pi_0=\pi</math> | ||
+ | :<math>\int\sin^2 x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1-\cos x}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x\,</math> | ||
+ | :<math>||\sin(x)||=[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x]_0^\pi=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | :<math>\lambda=\frac{\pi}{\pi^2/4}=\frac{4}{\pi}</math> | ||
==Kétváltozós függvény integrálása téglán== | ==Kétváltozós függvény integrálása téglán== | ||
Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük: | Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük: |
A lap 2009. április 23., 20:00-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Függvénytérbeli projekció
Tekintsük
Ebben a belső szorzat:
Számítsuk ki az
függvény
altérre eső merőleges vetületét!
Kell: λ, hogy f(x) vetülete = λ.sin(x). Projekciótétellel:
Megj: pont ezt adná a Gram-Schmidt is.
Kétváltozós függvény integrálása téglán
Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:
1. Példa
Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:
Hangsúlyozzuk, hogy itt két esetben a Newton-Leibniz-formulát használtuk a határozott integrál kiszámítására:
ahol F az f primitív függvénye (vagy határozatlan integrálja). Az eslő esetben az y változó szerepeltetése az integrál kiszámítását követően indokolatlanná vált, de az x megmaradt, amit tovább kellet integrálni az x változóra vonatkozóan. Fordított esetben szintén 4-et kapunk:
2. Példa
Korlátos, megszámlálható sok szakadási ponttal rendelkező függvény is integrálható:
8. gyakorlat | 10. gyakorlat |