Matematika A2a 2008/9. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2009. április 23., 21:06-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

1 Függvénytérbeli projekció
2 Példa téglán történő inegrálásra
3 Többváltozós függvény Riemann-integrálja

Függvénytérbeli projekció

Tekintsük

$L^2[0,\pi]=\{f:[0,\pi]\to \mathbf{R}\mid ''f\quad\mathrm{Lebesgue\mbox{-}int.\mbox{-}hato\!'\,}''\}$

Ebben a belső szorzat:

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{0}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\,$

Számítsuk ki az

$f(x)=x,\quad x\in[0,\pi]\,$

függvény

$L=\mathrm{Span}(\sin)\subseteq L^2[0,\pi]$

altérre eső merőleges vetületét!

Kell: λ, hogy f(x) vetülete = λ.sin(x). Projekciótétellel:

$\langle x-\lambda.\sin(x),\sin(x)\rangle=0\quad\Leftrightarrow\quad\langle x,\sin(x)\rangle-\lambda||\sin(x)||^2=0 \quad\Leftrightarrow\quad$

$\quad\Leftrightarrow\quad\langle x,\sin(x)\rangle-\lambda||\sin(x)||^2=0\quad\Leftrightarrow\quad \lambda=\frac{\langle x,\sin(x)\rangle}{||\sin(x)||^2}$

Megj: pont ezt adná a Gram-Schmidt is.

$\int x\sin x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)-\int -\cos x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)+\sin x$

$\int\limits_{0}^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x=[x(-\cos x)+\sin x]^\pi_0=\pi$

$\int\sin^2 x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1-\cos x}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x\,$

$||\sin(x)||=[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x]_0^\pi=\frac{\pi}{2}$

$\lambda=\frac{\pi}{\pi^2/4}=\frac{4}{\pi}$

Példa téglán történő inegrálásra

Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:

$\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=$

$=\int\limits_{x=0}^2[xy]_{y=0}^{2}\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2 2x\;\mathrm{d}x=[x^2]_{x=0}^{2}=4$

Hangsúlyozzuk, hogy itt két esetben a Newton-Leibniz-formulát használtuk a határozott integrál kiszámítására:

$\int\limits_{a}^b f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

ahol F az f primitív függvénye (vagy határozatlan integrálja). Az eslő esetben az y változó szerepeltetése az integrál kiszámítását követően indokolatlanná vált, de az x megmaradt, amit tovább kellet integrálni az x változóra vonatkozóan. Fordított esetben szintén 4-et kapunk:

$\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=$

$=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4$

Többváltozós függvény Riemann-integrálja

A T= J₁× J₂ korlátos és zárt téglalap egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely a T-t unióként előállító, egymásba nem nyúló tengelyekkel márhuzamos oldalú téglalapokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan η függvényt, melyre:

Dom(η) minden I eleme tengelyekkel párhuzamos oldalú zárt téglalap, melyek egymásba nem nyúlnak, uniójuk T
minden I ∈ Dom(η) esetén $\eta(I)\in I$ .

A T összes Riemann-felosztásai halmazát RF(T) jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes elem területe (oldalhosszainak szorzata) kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, RF_δ(T) jelöli, ezt a halmazt a T összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.

Egy f, az T-n értelmezett és R-be képező függvény egy η felosztáshoz tartozó Riemann-közelítő összegén a

$\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{I\in\mathrm{Dom}(\eta)}f(\eta(I)\cdot|I|)$

Ekkor már definiálhatjuk az Riemann-integrálhatóságot:

Definíció. Legyen f:T $\to$ Regy zárt és korlátos téglán értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az A valós szám, ha

$(\forall \varepsilon> 0)(\exists \delta >0)(\forall \eta\in\mathrm{RF}_{\delta}(T))(|\sigma_f(\eta)-A|< \varepsilon)$

Belátható, hogy ha f integrálható, akkor A egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az

$\int\limits_{T} f$ , vagy az $\int \limits_{T_{x,y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

szimbólum szolgál.

A T téglalapon Riemann-integrálható függvények halmazát R(T) jelöli.

Az integrál lényegében a függvény grafikonja alatti térfogat. Integrálható függvény esetén létezik ez a térfogat, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül A-hoz.

Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden résztégláján is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk).

Egy kompakt K halmazon értelmezett f függvény integrálja nem más, mint tetszőleges a K-t tartalmazó T tégla esetén az

$\hat{f}=\left\{\begin{matrix} 0,& \mathrm{ha} & x\in T\setminus K \\f(x),& \mathrm{ha} & x\in K \end{matrix}\right.$

függvény integrálja T-n, ha ez létezik.

A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele

Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezelhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban a klasszikus analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.

Tétel. Legyen f: T $\to$ R korlátos és zárt téglán értelmezett függvény. f pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz

$f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}(T)\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)$

Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy H ⊆ R^N halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (I_n) téglasorozat, hogy ennek össztérfogata < ε és lefedi H-t.

Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.

Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.

Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. (Lásd: az ördög lépcsője függvényt)

A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma

Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.

$f\in \mathrm{R}(T)\;\Rightarrow\;f\in \mathrm{B}(T)$
csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
$f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}(T)$
(Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
$f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{M}[a,b]$

Kétváltozós függvény integráljának kiszámítása, paraméteres integrál integrálása

Legyen f:[a,b]×[c,d] $\to$ R folytonos. Ekkor az

$F(y)=\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\,\mathrm{d}x,\,\quad y\in[c,d]$

létezik mert az integrandusa folytonos. Mi több, maga is folytonos.

Ugyanis,

$F(y)-F(y_0)=\int\limits_{x=a}^b f(x,y)- f(x,y_0)\,\mathrm{d}x\,$

Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel f egyenletesen folytonos, ezért létezik δ>0, hogy ha |(x,y)-(x,y₀)| < δ, akkor

$|f(x,y)- f(x,y_0)|<\frac{\varepsilon}{b-a}\,$

Ekkor viszont

$|F(y)-F(y_0)|\leq\int\limits_{x=a}^b |f(x,y)- f(x,y_0)|\,\mathrm{d}x\,\leq\frac{\varepsilon}{b-a}\cdot (b-a)=\varepsilon$

Tehát F(y) folytonos (egyenletesen) és így integrélható egyváltozós függvény, azaz létezik:

$A=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y$

Ez alapot ad az integrál kiszámítására: az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:

$\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

8. gyakorlat	10. gyakorlat

@@ 20. sor: / 20. sor: @@
 :<math>||\sin(x)||=[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x]_0^\pi=\frac{\pi}{2}</math>
 :<math>\lambda=\frac{\pi}{\pi^2/4}=\frac{4}{\pi}</math>
-==Kétváltozós függvény integrálása téglán==
+==Példa téglán történő inegrálásra==
-Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:
-:<math>\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y</math>
-===1. Példa===
 Ha f(x,y) = x és a [0,2]&times;[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:
 : <math>\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=</math>
@@ 32. sor: / 29. sor: @@
 : <math>\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=</math>
 :<math>=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4</math>
-===2. Példa===
+==Többváltozós függvény Riemann-integrálja==
-Korlátos, megszámlálható sok szakadási ponttal rendelkező függvény is integrálható:
+A T= J<sub>1</sub>&times; J<sub>2</sub> korlátos és zárt téglalap egy '''Riemann-felosztás'''án nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely a T-t unióként előállító, egymásba nem nyúló tengelyekkel márhuzamos oldalú téglalapokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan &eta;
+függvényt, melyre:
+# Dom(&eta;)  minden ''I'' eleme tengelyekkel párhuzamos oldalú zárt téglalap, melyek egymásba nem nyúlnak, uniójuk T
+# minden ''I'' &isin; Dom(&eta;) esetén <math> \eta(I)\in I</math>.
+A T összes '''Riemann-felosztásai halmazát''' RF(T) jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes elem területe (oldalhosszainak szorzata) kisebb egy &delta; > 0 pozitív számnál, RF<sub>&delta;</sub>(T) jelöli, ezt a halmazt a T összes '''&delta;-nál finomabb Riemann-felosztásának''' nevezük.
+Egy ''f'', az T-n értelmezett és '''R'''-be képező függvény egy &eta; felosztáshoz tartozó '''Riemann-közelítő összegén''' a
+:<math>\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{I\in\mathrm{Dom}(\eta)}f(\eta(I)\cdot|I|)</math>
+Ekkor már definiálhatjuk az Riemann-integrálhatóságot:
+'''Definíció.''' Legyen ''f'':T <math>\to</math> '''R'''egy zárt és korlátos téglán értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy ''f'' '''Riemann-integrálható''' és integrálja az A valós szám, ha
+:<math>(\forall \varepsilon> 0)(\exists \delta >0)(\forall \eta\in\mathrm{RF}_{\delta}(T))(|\sigma_f(\eta)-A|< \varepsilon)</math>
+Belátható, hogy ha ''f'' integrálható, akkor A egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az
+:<math>\int\limits_{T} f</math>, vagy az <math>\int \limits_{T_{x,y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
+szimbólum szolgál.
+A T téglalapon Riemann-integrálható függvények halmazát R(T) jelöli.
+Az integrál lényegében a függvény grafikonja alatti térfogat. Integrálható függvény esetén létezik ez a térfogat, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb &epsilon; eltérésnél közelebb kerül A-hoz.
+Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden résztégláján is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk).
+Egy kompakt K halmazon értelmezett f függvény integrálja nem más, mint tetszőleges a K-t tartalmazó T tégla esetén az
+:<math>\hat{f}=\left\{\begin{matrix} 0,&  \mathrm{ha} & x\in T\setminus K \\f(x),&  \mathrm{ha} & x\in  K
+\end{matrix}\right.</math>
+függvény integrálja T-n, ha ez létezik.
+===A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele===
+Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezelhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban a klasszikus analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.
+'''Tétel.''' Legyen ''f'': T <math>\to</math> '''R''' korlátos és zárt téglán értelmezett függvény. ''f'' pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz
+:<math>f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}(T)\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)</math>
+Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy ''H'' &sube; '''R'''<sup>N</sup> halmazt, ha minden &epsilon; > 0-hoz létezik olyan (I<sub>n</sub>) téglasorozat, hogy ennek össztérfogata < &epsilon; és lefedi ''H''-t.
+Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.
+Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.
+'''Példa.''' Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. (Lásd: az '''ördög lépcsője''' függvényt)
+===A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma===
+Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.
+# <math>f\in \mathrm{R}(T)\;\Rightarrow\;f\in \mathrm{B}(T)</math>
+#: csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
+# <math>f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}(T)</math>
+#: (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
+# <math>f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{M}[a,b]</math>
+===Kétváltozós függvény integráljának kiszámítása, paraméteres integrál integrálása===
+Legyen f:[a,b]&times;[c,d]<math> \to</math> '''R''' folytonos. Ekkor az
+:<math>F(y)=\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\,\mathrm{d}x,\,\quad y\in[c,d]</math>
+létezik mert az integrandusa folytonos. Mi több, maga is folytonos.
+''Ugyanis,''
+:<math>F(y)-F(y_0)=\int\limits_{x=a}^b f(x,y)- f(x,y_0)\,\mathrm{d}x\,</math>
+Legyen &epsilon; > 0 tetszőleges. Mivel f egyenletesen folytonos, ezért létezik &delta;>0, hogy ha |(x,y)-(x,y<sub>0</sub>)| < &delta;, akkor
+:<math>|f(x,y)- f(x,y_0)|<\frac{\varepsilon}{b-a}\,</math>
+Ekkor viszont
+:<math>|F(y)-F(y_0)|\leq\int\limits_{x=a}^b |f(x,y)- f(x,y_0)|\,\mathrm{d}x\,\leq\frac{\varepsilon}{b-a}\cdot (b-a)=\varepsilon</math>
+Tehát F(y) folytonos (egyenletesen) és így integrélható egyváltozós függvény, azaz létezik:
+:<math>A=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y</math>
+Ez alapot ad az integrál kiszámítására: az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:
+:<math>\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y</math>

Matematika A2a 2008/9. gyakorlat

A lap 2009. április 23., 21:06-kori változata

Tartalomjegyzék

Függvénytérbeli projekció

Példa téglán történő inegrálásra

Többváltozós függvény Riemann-integrálja

A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele

A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma

Kétváltozós függvény integráljának kiszámítása, paraméteres integrál integrálása

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök