Matematika A2a 2008/9. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Függvénytérbeli projekció

Tekintsük

$L^2[0,\pi]=\{f:[0,\pi]\to \mathbf{R}\mid ''f\quad\mathrm{Lebesgue\mbox{-}int.\mbox{-}hato\!'\,}''\}$

Ebben a belső szorzat:

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{0}^{\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\,$

Számítsuk ki az

$f(x)=x,\quad x\in[0,\pi]\,$

függvény

$L=\mathrm{Span}(\sin)\subseteq L^2[0,\pi]$

altérre eső merőleges vetületét!

Kell: λ, hogy f(x) vetülete = λ.sin(x). Projekciótétellel:

$\langle x-\lambda.\sin(x),\sin(x)\rangle=0\quad\Leftrightarrow\quad\langle x,\sin(x)\rangle-\lambda||\sin(x)||^2=0 \quad\Leftrightarrow\quad$

$\quad\Leftrightarrow\quad\langle x,\sin(x)\rangle-\lambda||\sin(x)||^2=0\quad\Leftrightarrow\quad \lambda=\frac{\langle x,\sin(x)\rangle}{||\sin(x)||^2}$

Megj: pont ezt adná a Gram-Schmidt is.

$\int x\sin x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)-\int -\cos x\,\mathrm{d}x=x(-\cos x)+\sin x$

$\int\limits_{0}^\pi x\sin x\,\mathrm{d}x=[x(-\cos x)+\sin x]^\pi_0=\pi$

$\int\sin^2 x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1-\cos x}{2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x\,$

$||\sin(x)||=[\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x]_0^\pi=\frac{\pi}{2}$

$\lambda=\frac{\pi}{\pi^2/4}=\frac{4}{\pi}$

Kétváltozós függvény integrálása téglán

Az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:

$\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

1. Példa

Ha f(x,y) = x és a [0,2]×[0,2]-n integráljuk, akkor először az y szerinti integrált elvégezve (eközben x állandónak minősül), majd a határozott integrált kiszámolva az x szerintit integrálva:

$\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2\left(\int\limits_{y=0}^2x\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=$

$=\int\limits_{x=0}^2[xy]_{y=0}^{2}\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^2 2x\;\mathrm{d}x=[x^2]_{x=0}^{2}=4$

Hangsúlyozzuk, hogy itt két esetben a Newton-Leibniz-formulát használtuk a határozott integrál kiszámítására:

$\int\limits_{a}^b f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

ahol F az f primitív függvénye (vagy határozatlan integrálja). Az eslő esetben az y változó szerepeltetése az integrál kiszámítását követően indokolatlanná vált, de az x megmaradt, amit tovább kellet integrálni az x változóra vonatkozóan. Fordított esetben szintén 4-et kapunk:

$\int\limits_{y=0}^2\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^2\left(\int\limits_{x=0}^2x\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y=$

$=\int\limits_{y=0}^2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^{2} \;\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^22\;\mathrm{d}y=[2y]_{y=0}^{2}=4$

2. Példa

Korlátos, megszámlálható sok szakadási ponttal rendelkező függvény is integrálható:

8. gyakorlat

10. gyakorlat