Matematika A3a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(→Folytonosság)
13. sor: 13. sor:
 
===Folytonosság===
 
===Folytonosság===
 
Egy ''f'' :  '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az '''R'''<sup>2</sup>-beli ||.||<sub>2</sub> norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
 
Egy ''f'' :  '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az '''R'''<sup>2</sup>-beli ||.||<sub>2</sub> norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a '''C''' <math>\to</math> '''C''' függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)
 +
 +
Lineáris (jobban mondva '''R'''-lineáris), '''R'''<sup>N</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup> függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:
 +
:<math>(a,b)+.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}a + x\\b + y\end{pmatrix}</math>
 +
és
 +
:<math>+\;:\mathbf{R}^2\times\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad((a,b),(c,d))\mapsto\begin{pmatrix}a + c\\b + d\end{pmatrix}</math>
 +
folytonosak (az egyik az ||.||<sub>'''C'''</sub>,||.||<sub>'''C'''</sub>, a másik a ||.||<sub>'''C'''&times;'''C'''</sub>,||.||<sub>'''C'''</sub> normapárok szerint).
  
 
vektortérbeli (''a'',''b'') &equiv; ''a'' + ''b''i és (c,d) &equiv; ''c'' + ''d''i  elemei a
 
vektortérbeli (''a'',''b'') &equiv; ''a'' + ''b''i és (c,d) &equiv; ''c'' + ''d''i  elemei a
 
:<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math>
 
:<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math>

A lap 2008. szeptember 6., 18:51-kori változata

Topológia C-ben

C, azaz a komplex számok teste kétdimenziós valós vektortér. C elemei reprezentálhatók az R2 síkon, a következő megfeleltetésekkel:

\mathbf{C}\ni a+bi\equiv (a,b)\in \mathbf{R}^2

a vektortérműveletek pedig:

\mathbf{C}\ni (a+bi)+(c+di)\equiv (a,b)+(c,d)\in \mathbf{R}^2 vektorösszeadás (a, b, c, d ∈ R)
\mathbf{C}\ni \lambda\cdot(a+bi)\equiv \lambda.(a,b)\in \mathbf{R}^2 valós számmal való szorzás (λ, a, b ∈ R)

C-ben tehát értelmezhetjük a gömbi környezeteket, mint az R2 sík pontjai körüli gömböket. Ezzel meg is kaptuk a C-beli nyílt halmazokat, azaz C topológiáját. A gömbök tehát a Gauss-számsík körlapjai:

B_r(z)=\{w\in \mathbf{C}\mid |w-z|< r\}

ahol z ∈ C, r > 0 valós szám.

Világos, hogy akármilyen R2-beli norma szerinti gömböket is választhattunk volna a C gömbjeinek, mert R2-ben minden norma ugyanazt a topológiát származtatja. Mi a ||.||2-t, azaz az euklideszi normát emeltük ki.

Folytonosság

Egy f : C \to C függvény folytonossága ezennel értelmezve van éspedig nem más, mint az R2-beli ||.||2 norma szerinti folytonosság. (HF: fogalmazzuk meg a C \to C függvények folytonosságának epszilon-deltás definícióját!)

Lineáris (jobban mondva R-lineáris), RN \to RM függvény folytonos, így a műveltek folytonosak lesznek:

(a,b)+.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}a + x\\b + y\end{pmatrix}

és

+\;:\mathbf{R}^2\times\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad((a,b),(c,d))\mapsto\begin{pmatrix}a + c\\b + d\end{pmatrix}

folytonosak (az egyik az ||.||C,||.||C, a másik a ||.||C×C,||.||C normapárok szerint).

vektortérbeli (a,b) ≡ a + bi és (c,d) ≡ c + di elemei a

(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A3a_2008/1._gyakorlat&oldid=3875”
Személyes eszközök